资本资产定价模型的逻辑悖论及资本资产纳什议价模型

摘要：本文的主旨在于提出用非合作博弈定价理论来解释资本资产的定价在分析问题时更合理更优越的假说，这与APT、鞅定价、行为学的定价理论等相比较走了不同的路⒈。具体来讲，考虑到资本资产定价模型的逻辑悖论及市场是否能达到均衡，我们尝试用非合作博弈理论来探讨资本资产的定价问题。在资本资产定价的纳什议价模型中，资产的定价受到威胁点、谈判力、及谈判破裂担心程度的影响⒉。更进一步说⒊，资本资产定价的纳什议价模型描述了资本资产定价模型中市场是如何达到均衡的过程。

关键词：资本资产定价 CAPM 纳什议价模型 博弈论

一、资本资产定价模型及其逻辑悖论
    资本资产定价模型（CAPM）是从资产组合理论中直接推导出来的模型，一般表示为：
            
    其中，是给定资产或资产组合的收益率；为无风险收益；是市场组合的收益率；为给定资产或资产组合的系统风险。
㈠模型含义
    现代资产组合理论认为，资产组合面临的风险可分为系统性风险和非系统性风险。系统性风险是与整体运行（如通货膨胀、经济危机等）相关的风险，非系统性风险是与资产自身特性相关的风险。多样化的投资可以降低直至消除资产组合的非系统风险，而系统风险因与整体经济运行有关，是不能通过多样化的投资消除的。理论上说，一个由足够多的资产构成的资产组合只有系统性风险，市场组合就可以认为是这样的一个组合。CAPM模型对资产的定价是对该资产的系统风险的定价（非系统风险是得不到市场回报的）。
    在一个所有投资者都遵循资产组合理论并达到均衡的市场上，给定资产或资产组合的收益由无风险收益和风险补偿共同组成。 是资产组合P与市场组合M的协方差，是市场组合的风险（也就是系统风险）， 可以衡量资产组合的系统风险。是资产组合P因承担系统风险所得到的回报（也就是风险补偿）。
㈡模型的逻辑悖论
    CAPM模型描述了市场达到均衡状态时资产定价，我们关注的是市场是如何达到这个均衡状态的。CAPM模型对均衡过程的分析是较为粗糙的，首先，模型设定了如下假设：
        1、投资者都是风险规避者。
        2、投资者遵循均值—方差原则。
        3、投资者仅进行单期决策。
        4、投资者可以按无风险利率借贷。
        5、所有的投资者有相同的预期。
        6、买卖资产时不存在税收或交易成本。
    按上述假设，我们可以判定市场投资者选择的最优风险资产组合必然是相同的，当然这个最优风险资产组合也就是市场组合。其次，这个市场的均衡是投资者根据不同资产风险收益对比而将资金在无风险资产和市场组合间进行动态调节而达到的。
    这个分析的缺陷在于忽略了投资者的最优风险资产组合是怎么得到的。在形成这个最优风险资产组合时，投资者要买入一些资产，并卖出另外一些资产。但根据上述的假设,由于投资者决策目标一致，持有的资产结构完全一致，而市场中交易双方都是这些投资者，这意味着交易双方都想同时买入或同时卖出某项资产，这样的交易显然不可能发生。对于另一种可能性，即集中需求或集中供给会导致资本资产价格调整，由此形成新的均衡，这也不可能。因为信息完全透明，投资者人人皆知，而且对资产价值的判断完全一致，因此也不会有实质性的资产交易活动发生。同时，我们还要考虑这样一个问题，受中央银行货币政策影响，在投资组合持有期间内,无风险利率是不断变化的，这意味着最优投资组合的内部资产价值构成比例发生调整，而这种调整又会遇到前面提到的无法交易这个问题。或者说，在无风险利率发生调整时，原有均衡仍将得以维持，投资者之间不会发生实质性的资产交易活动，均衡点仍然在原处，但该点已经不是最优点。
    造成上述悖论的关键原因是模型假设中认为投资者对资产特性的完全一致认同，加上模型认为投资者会追求任何最优组合，而这一最优组合又是所有投资者一致认同的，因此，所有投资者都会选择同一最优组合，即一致决策，一致做出买入某项资产或卖出某项资产的决定，由此无法满足资产交易所需的条件。而且,我们也可以从博迪、莫顿的《金融学》一书中看出CAPM模型悖论造成的理论分析后果,即使投资者陷入了是否该相信自己能战胜市场的两难境地。⒋因此，我们有理由认为原有的达到均衡市场的分析存在问题，其后果是我们会质疑模型是否成立。

二、资本资产定价的纳什议价模型
    学术届很早就注意到资本资产定价模型的不足之处，但主流方向集中在对该模型的修补。虽然APT理论从另一个角度探讨资本资产的定价问题，但该理论也存在着重大的缺陷。⒌
    正是由于上述的原因，我们力图换过一种思维去克服CAPM及APT的缺陷。考虑到资本资产定价模型的逻辑悖论及市场是否能达到均衡，我们尝试用非合作博弈理论来探讨资本资产的定价问题。一个基本看法是：资产的价格在交易时才能真正体现出来，而交易则可以看做是一个纳什议价过程。⒍
1．Nash(1950,1953)谈判模型
Ｎａｓｈ认为谈判的特征由两点决定：
    第一、谈判结果所产生的收益分配情况;
    第二、如果谈判破裂会产生什么结果。
    Nash指出，谈判解(纳什解)应该满足以下公理：
    公理1　个体理性。，即优超，为现状点。
    公理2　联合理性。Ｐ中不存在优超的效用值,即满足pareto最优。
    公理3　对称性公理。在两个谈判者涉及的所有方面均相同的对称谈判中,谈判解也是对称的。在对称谈判中，谈判双方的地位一模一样，如果互换地位仍是相同的谈判局势。
    公理4　线性不变性公理。如果对谈判的效用模型中任何一方的效用函数作保序线性变换，则谈判的实物解不变，效用解由原谈判的效用解经相同保序线性变换而得。保序线性变换则是对效用函数Ｕ进行如下线性变换：ａｕ+ｂ,ａ>0,在保序线性变换下，偏好的结构不变，变动的仅是效用的数值(效用的相对度量)。
    公理5　无关选择公理。记Ｇ为一种谈判局势，其现状点 ，可行集为Ｐ，解为。设Ｇ′为一新谈判局势，可行集Ｐ′是Ｐ的一个子集，现状点，在Ｐ′内，则仍为Ｇ′的解。
2．Nash谈判模型的推广
    Nash谈判模型建立在过于抽象的公理基础上，这就使模型缺乏对现实的解释力。Jansvejnar(1982,1986)对该模型进行了改进，该模型中谈判解由各方的威胁点、谈判力(bargaining power)以及对谈判破裂担心程度(fear of disagreement)决定。下面给出这两个概念的严格定义，并且给出简单的解释。
谈判力的定义：
        
并且，
    ｉ方的谈判力 受制度、以及其它变量(用向量Ｚ表示)的影响，这些变量对于Nash谈判模型来说是外生的，因为它们不能作为谈判的目标而直接进入各方的效用函数。每一方的净收益都随着他的谈判力增加而增加；零收益对应于完全没有谈判力的情形，而最大收益则对应于谈判方具有完全谈判力的情形。⒎
谈判破裂担心程度(ｆ)的定义:
     。
    在谈判的每一个阶段,ｉ方都在考虑一个赌博，即用目前得到的净收益来赌的小增量收益(例如管理层考虑是否接受工会增加工资的要求)，那么是谈判方ｉ对破裂结果的局部规避(local aversion)。⒏所以ｉ方接受这个赌博的最大概率就从反向上衡量了ｉ方对于损失 的规避。由于当很小时接近于零，Aumann和Kurz(1977)就把作为ｉ方担心谈判破裂程度的反向量度，而且指出。
    资产的定价受到威胁点、谈判力、及谈判破裂担心程度的影响，这是显而易见的，而且这一观点也比资本资产定价模型更富有人格化的意义。从某种意义上说，资本资产定价的纳什议价模型是资本资产定价模型的更为微观的基础，或者更进一步说说，资本资产定价的纳什议价模型描述了资本资产定价模型中市场是如何达到均衡的过程。
    事实上，上述模型及其推广从不同的思路出发，在探讨资本资产定价时，得出了与CAPM类似但更直观、更易理解的结论。⒐但CAPM的分析在此就停滞不前，而我们的分析则可以再进一步，下面就举一个模型为例。
3．一个模型的举例
    为了很好地解释资产的定价是个不完全信息下的动态有限次博弈过程，本文引入一个不完全信息下的动态博弈模型。在此模型中，假设:
        ①若买卖双方的报价和回价过程是在某一天的早晨和黄昏之间进行，就不存在综合折现因子δ。
        ②若报价或回价过程耗时一周或更多，那么就不得不考虑综合折现因子δ。
        ③对转让方和受让方来说，如接受和拒绝一个报价，其支付函数等值，则选择接受。
        ④转让方具有不完全信息，即他不能肯定受让方愿出哪种价格；受让方具有完全信息，即他知道自己愿出多少价(顶价)，受让方的类型由其愿出的价格而定。
        ⑤转让方估计受让方的价格是的概率是q，是的概率是1-q。
    假设资产的交易双方甲、乙只进行两次谈判，出场次序如下：①甲报价；②乙接受或拒绝(接受就结束博弈)；③甲报价；④乙接受或拒绝。
    支付函数为:           如被接受
                    ＝δ          如被接受
                    ＝0              如、都未被接受　
                       如被接受
                    =        如ｐ2被接受
                    ＝0                如,都未被接受其中,
假设综合折现因子δ=0.9
    在不完全信息情况下,受让方是还是的概率将决定均衡是混同均衡还是分离均衡。由于这个博弈持续两个阶段，所以具有不完全信息的转让方有机会在具有完全信息的受让方拒绝从而披露出一些信息之后,作第二次报价。
这个模型的重要结论是:
    ①谈判中的博弈能导致非效率。在分离均衡中，拖延他们的交易直至第二个阶段，这是非效率行为，因为支付会被折现。此外，始终不购买，从而丧失了可能从资产交易中获得的潜在收益。
    ②受让方支付的价格在很大程度上依赖于转让方的均衡信念(概率)。例如，转让方认为受让方顶价低的概率是0.05，那么定价将偏低，但如果他认为这个概率是0.5，价格就将升高。⒑
    正是从这些结论出发，我们对不规范、不完善的资本市场上存在的问题可以提出理论上的探讨。比如，在国外股票倾向折价发行，而国内则是溢价发行。对此，我们提出的假说可以给出一个解释，那就是：国外折价发行是市场的必然选择，而国内的溢价发行则是采取了机会主义的行为。
    我们可以这样来加以具体的描述。在国外相对较为发达的资本市场上，股票发行商考虑到风险的控制及信用等，采取了折价发行的措施⒒，这本是市场选择的必然结果（最优选择）。⒓而在国内则不是这样。国内是借鉴国外的经验，看到的是国外的股票上市后都会上涨这一现象，就以为股票上市是必然会上涨的，当然也就会采取机会主义行为让股票溢价发行。⒔
4、探讨博弈过程定价与资本资产定价的逻辑起点：
    资本资产定价模型是一种市场均衡状态的定价模型，但正如第一部分我们分析的那样，我们会问，是否真的存在这样的均衡状态呢？如何投资者对每种资产的评价一样，那么这些资产卖给谁呢（或者说谁来买呢）？博弈论的定价方式或许能给我们一些启发。
    既然资产价格是一个博弈的过程，其价格可以视为一个随机过程（如GARCH模型等），那么类似资本资产定价模型的市场均衡定价模型的意义从哪里可以体现呢？
    我们可以用这样的一个故事来描述博弈论定价与资本资产定价的逻辑起点：
    比如有两家投资者就一种资产交易谈判（假设甲卖给乙），甲利用某资产定价模型把该资产定价为a, 乙利用某资产定价模型把该资产定价为b，资本资产定价模型的逻辑是：如果a≠b,则存在投机套利机制，使其自动趋于相等，因此达到市场均衡。但事实并没有    那么简单。
    假设利用资本资产定价模型来定价一项资产的目的在于评估或卖给他人时谈判的价格（财务上的观点，超边际分析？），那么这个参考价格到底能起多大的作用呢？事实上，谈判时自己的评估是不重要的，对方对该资产的评估起决定性的作用。应该指出，对方对该资产的评估也是利用某种资本资产定价模型来定价的。那么谈判的实质在于双方试探对方的参考价格（这就是所谓的互探底牌），这也是我们在前文所述的纳什议价模型的主要内容。
    在这里必须指出，纳什议价模型是一个静态的、信息完全且对称的博弈模型，但在现实经济中，更多的是信息不完全、且不对称，而且还有时间因素。比如，如果考虑时间因素，意味着谈判的某方在这次谈判后，马上吸取经验和教训，以防在下次谈判再次犯错误（贝叶斯学习过程），这样可能达到一个市场均衡。
    我们的结论是，两种定价方式对信息的依赖程度很高，即信息披露很重要。
三、关于讨论后思考的思考
    在上文我们也谈到，资本资产定价模型假定投资者对证券收益率的概率分布有着完全相同的预期，那么交易如何发生，是否可以说交易量为0时的交易价格就是模型中决定的价格呢？但交易量为0又何来的价格，或许这里就是资本资产定价模型难以检验的最重要的原因。⒕
    或许可以这样说，资本资产定价模型是否成立的核心问题就是均衡价格的存在与否。⒖对该模型的修正及APT理论都回避了这一问题（特别地APT理论带来新的问题即因素的含义不能确定等）。当然，对该问题回避的一个理由可以是，均衡价格并不一定是一个点，可以是一个区间，这样就可以存在成交量，或者说模型允许投资者对证券的收益率估计有误差，但显然这种解释力很微弱。
    我们再来看资产理论的现状（90年代中期）。非常不幸，整个状况很混乱。单因素的CAPM显然难有作为、也很难有哪个模型的扩展形式成为标准，而且如果我们要提出一个所有研究人员都一致支持的可行资产定价模型，第一个迫切需要解决的问题是决定有多少个因素需系统定价，以及这些因素具体是哪些。Chen,Roll and Ross(1986)所进行的工作向这个方向跨出了重要的第一步，然而令人奇怪的是，在Chen ,Roll,Ross之后就没有作者试图解决这个问题。我们不禁问：沿着这种思路探讨资产定价是否有必要？我们可不可以沿着非合作博弈定价理论的思路呢？
    首先必须澄清一个对博弈论的误解。其实博弈论对不确定性也有很深的刻画。比如诺奖得主泽尔腾（1975）提出的颤抖手均衡的概念，其基本思想就是，在任何一个博弈中，每个参与人都有一定的可能性犯错误，类似一个人用手抓东西，手一颤抖，他就抓不住想抓的东西，即博弈偏离均衡路径。博弈论用此概念来预测均衡结果（原博弈均衡的极限）的思想，与计量学里用随机游走的概念来描述股票价格波动有些类似。而且重复、多人的博弈模型的解释力也不一定是一般意义理解的那么弱。
    至少我们可以先这样描述博弈论的定价理论：一个交易的价格如何成为市场上的均衡价格，而且这个价格被投资者接受（即CAPM假设中认为投资者只是价格的接受者而不是价格的制订者，或者说他们缺乏以交易影响价格的市场能力）。博弈论分析的结果告诉我们，他们不是缺乏影响价格的能力，也不是不想去影响价格，因为谁都梦想自己能影响价格。但通过与市场的博弈发现，试图以交易去影响价格是不明智的选择！这与莫顿（p334）对CAPM的分析思路惊人地一致！！
    为了更好地理解一个交易的价格如何成为市场上的均衡价格，我们可以进行一个模型分析：
    我们假定议价不是双边的，而是多边的，即大家都集中到市场，不但两辆之间议价，而且有机会转向市场上的其他人议价。⒗我们先假设每个人从正在议价的对手转向他人所需时间很短，每人议价时以概率q选择软策略，而以概率1-q选择硬策略。但是由于有很多潜在的合作伙伴，所以当双方都很硬时，每个人会在下一段转向别人。由于这种机会的存在，每个人在自己软、对方硬时，由于认为自己吃了亏，也不会接受其结果,而会转向别人。只有当他得到(双方都软)或（对方软，己方硬）时，他才会心满意足离开市场。但由于每人都会这样考虑，因此无人得到,这样每人在时段t的预期效用是:
    
    其中为局中人s在时段t选择软策略的概率，其中s=i,j,i≠j。而 为局中人i在时段t未做成生意，转向他人预期于时段t+1能得到的效用。而P是其他人在时段t做成生意的概率，而1-P为其他人中至少有1人在时段t没做成生意的概率，1-P当然又与每人选择的q值有关，也与市场上的人数有关。
    利用对称性，q对所有人会相等，所以，其中N是除了一对局中人之外，所有其他人两两议价的对数。如总人数为M，则N=(M-2)/2。如果q在0与1之间，则当N足够大时，p趋于0，而1-p趋于1。
    将(1.1)中的对求偏导数，并设1－P＝1，可得：
    
    假设（t+1）是最终时段，则：
    
    其中q由给出，由给出。不难验证。这意味着(1.2)永为正，即最优q为其最大值1。
    这里有一个微妙的矛盾。当q=1时，则P=(1-q)N=0,因此，所有人都采取合作策略，所以在时段t，所有人都会做成生意，因此没有人可以在转向他人时找得到合作伙伴。下一时段没有合作伙伴，则每人的决策又变成表3中的一时段决策，其最优q又不会为1。这一矛盾意味着，虽然在一个市场中人很多时，最优q可以非常接近1，但决不会完全等于1，这种微小的选择非合作策略的概率正是市场上有可能找得到下一个合作伙伴的条件，因而是市场能用潜在合作机会使人们选择合作策略的概率趋于1的条件。
    分析到这里，我们就会发现这与博迪、莫顿在他们的《学》一书中的一段话的思想惊人的相似（p334）。他们在书中写到：CAPM意味着，大多数投资者采取的消极投资法，是将无风险与某一指数基金组合，该指数基金中风险资产的比例与市场投资组合相同，其效果等同于积极地研究证券并试图“战胜”市场。那些特别睿智而能干的投资者确实能通过努力获取收益，但是从一段时期看，他们之间的竞争减少了收益，甚至会低于诱导他们从事工作的最低必要水平。其余的人仅仅通过消极的投资就可以从他们的工作中获益。
    我们可以这样理解这段话：投资者试图去“战胜”市场是徒劳的，但如果大家都不去试图“战胜”市场，那么市场就是可以“战胜”的。那么，对一个具体的投资者而言，接受CAPM，投资者的理念是认为市场是可以“战胜”的，还是不可以“战胜”呢？投资者陷入了两难，而这个两难境地正是前文分析的逻辑悖论造成的结果。
    联系我们刚刚提出的软硬策略模型。在该模型中事实上也提出了这个问题，所不同的是，CAPM陷入了两难，而软硬策略模型把它内生化，正试图解决这个问题。这也从另一个侧面说明了我们用非合作对策定价的分析框架取代CAPM及APT的合理性。

注释：
    ⒈在分析思维上更接近行为学，我们先提出这个假说，下个步骤必须进行计量分析为该假说提供证据。
    ⒉这与直观的一般理解非常一致，而且这一观点也比资本资产定价模型更富有人格化的意义。
    ⒊从某种意义上说，资本资产定价的纳什议价模型刻画了资本资产定价模型更微观的现象。
    ⒋详细内容可参见本文第三部分。
    ⒌APT最重大的缺陷是该模型并不能明确系统风险因素具体代表些什么
    ⒍我们的一个感觉是，资本资产定价模型和非合作博弈定价理论两者的终极目的是一致的，只是在分析思路上走了不同的路。我们希望能找出两者之间的相通之处及根本的分歧在哪里。
    ⒎如果有经验的谈判者彼此很了解,他们偶尔会对各方现有谈判力的价值不能达成一致。这种冲突的发生可能是由于经济和制度条件经常发生变动,这些变动至少在短期会不同程度地影响各方对于各自谈判力的认识。
    ⒏如果ｈｉ相对于Ｘｉ很小,那么ｉ方被迫接受破裂结果而损失Ｘｉ的概率ｑｉ就必然很小,否则ｉ方不会进行这个赌博。而且,ｉ方越不愿意损失Ｘｉ,ｑｉ就必须越小。
    ⒐当然模型的结论是不一样的，CAPM推导出一个β系数，而我们的模型则推导出更直观、更易理解的因素如威胁点、谈判力的大小、及谈判破裂担心程度等。
    ⒑这意味着尽管受让方是低价购买者,但如果处在被认为是会出高价的一组成员中,他将是不幸的，因为他的付价还价能力将很弱。
    ⒒形象地说，就是为了把股票全部卖出去或为了以后还有股票可卖，发行商宁愿便宜出售股票。
    ⒓这也体现出CAPM的悖论：CAPM定出的是市场的均衡价格，那为什么必然地发行价是比均衡价格要低的价格，而不是均衡价格本身呢？难怪有人说，股票的定价不能靠模型，而更多地是一种。如果我们同意这种说法，那么艺术就艺术在到底要比模型定价低多少这一点上。
    ⒔因为“不抬价白不抬价”。
    ⒕Roll,1977甚至认为该模型是同意重复，且他证实了在夏普等三人提出的模型和Black的β系数为0。
    ⒖顺便提一下，我们这里的质疑同样可以针对商品市场，因为在经济学里分析商品市场价格的决定也用了均衡价格的概念。但在商品市场的分析中用均衡价格的概念行得通，因为在商品市场均衡时消费者和生产者对商品的评价可以不一样。而这种分析运用在资本市场上却存在问题，这是因为资本市场与一般商品市场的特征存在着太多的不同。我认为，最大的不同就是资本市场中的“商品”（资本、资产）的效用是不确定的。
    ⒗这个问题看起来很复杂，但我们可以巧妙地通过构造一个并不是很复杂的博弈模型来解决。


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