从经济数学中“变与不变”问题的辩证关系谈起

内容提要：抽象思维能力的发展是数学中一个富有挑战性的目标，从哲学的角度探讨经济数学中的辩证思维，在经济数学中渗透辩证的思维方法，可以使人们对经济数学的认识产生一个新的高度，也是增长思维智慧的最佳方法。

关键词：运动；转化；思维功能；运用

初等数学基本上研究的是常量数学，而经济数学研究的是变量数学。经济数学中的变量已不是考查事物运动的一个断面，而是运动的整个过程，已不是“拍照”而是“录像”了。正如恩格斯曾指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外是辩证法在数学方面的运用。而辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。”经济数学中变量的“变”与“不变”，反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态，以及它们在一定条件下的相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一。”这种理念是打开经济数学之门的一把钥匙，也是我们发现事物的规律，把握事物的关键，考察事物的发展过程，研究事物的“变与不变”以及对事物应变能力的强弱，有的放矢地处理问题关键所在。 一、认识经济数学中“变与不变”的辩证关系 微积分的基本思想是极限的思想。我们用极限的思想去讨论函数的两个基本概念：变率与求和，这也就是微分运算和积分运算的起源。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，我们可以从“不变”认识“变”，从有限认识无限。学习微积分也就是要学会灵活运用极限思想去简化和解决实际问题。

（一）变率问题

在经济管理中，常常会使用变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率（边际函数）。平均变化率就是函数增量与自变量的增量之比。如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率等。而瞬时变化率就是指函数对自变量的导数，即当自变量的增量趋于零时平均变化率的极限。从观念上看，平均变化率是有限且比较初等的概念，而瞬时变化率的概念中涉及极限，是进一层的、比较复杂的无限过程。从计算的着眼点来看，一般经济函数的平均变化率是一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的，并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解它的近似值就可以了，于是在一定条件下，我们用瞬时变化率函数近似替代平均变化率函数，起到简洁易算的作用。上述思想的几何直观是：用愈高倍的显微镜去观察一条光滑曲线一点的局部微段，曲线和切线就愈来愈密合而难以区分。

（二）求和问题

在经济管理中，还有一类问题是：已知边际函数求总函数（如总成本函数、总利润函数等）在某个范围的改变量（即求总量）。大多数求总量的问题，初等数学无法解决，而使用定积分的方法却能迎刃而解。初等数学不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的“变与不变”的矛盾，定积分的方法是辩证的方法，与“总量”一类问题本身所固有的辩证内容相吻合。定积分作为和式的极限，经过化整为零、以常代变、积零为整、无限逼近的过程求出定积分值，它充分体现了整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的对立统一。一般而论，曲和直相应变和不变，曲说明方向在变，直说明方向不变。定积分就是运用辩证的变与不变这一对矛盾的相互转化解决问题的。 早在公元3世纪魏晋时期，我国古代数学家刘徽成功地运用“变与不变”矛盾的对立统一思想，通过化整为零，在局部范围内用初等数学的方法求出部分量的近似值，再把这个部分量的近似值用初等数学的方法加起来，逼近总量的近似值，得出圆周率的近似值。刘徽在《九章算术》(263年)方田章“圆田术”中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积和圆周率的基础。割圆术的精髓是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。设圆的半径r为l尺，从圆内接正六边出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积，当算到192边形时，得出圆周率的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”并一再对“徽率”声明：“此率商微少”，需要的话，可以继续算下去，得出更精确的近似值。刘徽的割圆术先运用无穷小分割，然后运用极限求和，这类似于一块块砖的边是直的，但是可砌出圆形的烟囱，砖越小（或烟囱越大）烟囱越圆。刘徽的思想架起了通向微积分学的桥梁，而且比古希腊数学家更接近微积分的思想。

（三）实例分析

在经济数学中，变与不变矛盾的相互转化问题很多，例如以下的问题（因文章篇幅所限，仅给出问题的分析）： [分析】我们这样考虑问题：把xoy坐标平面想像成水平面，而把对应的函数z标在垂直方向上，这样在空间直角坐标系的曲面z=f(x，y)恰似在平地上的山峰和山谷一样。山峰的斜率刻画了山峰的陡峭成度。如果问：由南一直向北走，南北方向山峰的坡度有多大？用数学语言来问，即：一直沿x方向走，斜率是多少呢？答案很简单，想求此方向的斜率，可以设y保持不变（即不管东西方向山峰的坡度，把它暂时视作平地，也即将变量y暂时视作常量），然后按一元函数求导的方法求出f对z的偏导数，而在偏导函数中，，，应还原其本来是变量的本质（即东西方向山峰是有坡度而非平地）。

由于上式左端变上限积分函数的积分变量是t，因此被积函数中的变量x要暂时视作常量，由积分运算的性质，它可以提到积分号外面。当将x提到积分号外面后，此时的x是变量，并以变量的形式参与后面的求导运算。 【分析】方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。方程的解可视为对应函数在某种特定状态下的值。在研究方程问题时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样可以化繁为简。