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高中数学教学中对多层次学生的学习指导策略

来源：岁月联盟作者：应娇捷时间：2014-10-15

　图3
　　【例6】在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求△ABC是锐角三角形的概率.
　　解法1：记△ABC的三内角分别为α、β，π-（α+β），A=｛△ABC是锐角三角形｝，B=｛(α，β)｜0＜α、β＜π,0＜α+β＜π｝，
　　∴A=｛(α，β)｜0＜α、β＜π2且π2＜α+β＜π｝.
　　由图3知：所求的概率为P(A)=A的面积B的面积=
　　12×（π2）212×π2=14.
　　
　　解法2：如图4所示建立平面直角坐标系，不妨设A、B、C1、C2为单位圆O与坐标轴的交点.将△ABC为锐角三角形记为事件A，则当C点在劣弧C1C2上运动时，△ABC即为锐角三角形，即事件A发生，故P（A）=14×2π2π=14.
　　图4___________图5
　　
　　解法3：如图5，不妨设A为定点，单位圆的圆心为O,点A关于点O的对称点为A′,B、C为圆上任意两点，设∠AOB=α，∠AOC=β，并设点B关于点O的对称点为B′.
　　
　　则Ω=｛(α，β)｜0＜α＜2π,0＜β＜2π｝，A=｛△ABC为锐
　　角三角形｝=
　　｛当0＜α＜2π时，△ABC为锐角三角形｝∪｛当π＜α＜2π时，△ABC是锐角三角形｝.
　　记A1=｛当0＜α＜π时，△ABC为锐角三角形｝=｛(α，β)｜0＜α＜π,π＜β＜π+α｝（如图6）
　　=(α，β)｜0＜α＜ππ＜β＜2πβ-α＜π.
　　图6___________图7
　　
　　记A2=｛当π＜α＜2π时，△ABC为锐角三角形｝=｛(α，β)｜π＜α＜2π,α-π＜β＜π｝（如图7）
　　=(α，β)｜π＜α＜2π0＜β＜πα-β＜π.
　　
　　
　　图8
　　在直角坐标系αOβ中，作出Ω及A1、A2（阴影部分）所表示的面积（如图8所示），故所求的概率为P（A）=A的面积Ω的面积=14.
　　在这些解法中学生运用了运动的观点、分割思想等，体验到了数学的无穷魅力.
　　实践证明，经过完善、引导和探究，不但提高了学生的数学素质，还培养了学生的创新能力，而且学生还会认为数学的学习正如爱因斯达说的“把一生的东西忘光了，余下的东西就是数学”.即使
　　公式忘了，但思维方式，解决问题能力，思维敏捷性，解决问题的方法，仍一直发挥着充分的作用.