构造组合模型巧证组合恒等式

       对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易。
        例５证明CIn ＋ 2c2n ＋ 3c3n ＋…＋ nCnn ＝ n2n － 1。
        分析：注意，原式左端等价C11Cin ＋ Ci2C2n ＋…＋ CinCnn，这里CIiCIn 可表示先在n 个元素里选i 个，再在这i 个元素里选一个的组合数，可设一个班有n 个同学，选出若干人（至少1 人）组成一个代表团，并指定一人为团长。把这种选法按取到的人数i 分类（i ＝ 1，2，…，n），则选法总数即为原式左端。今换一种选法，先选团长，有ｎ种选法，再决定剩下的n － 1 人是否参加，每人都有两种可能，所以团员的选法有2n － 1 种。即选法总数为n2n － 1 种。显然两种选法是一致的。这里应注意2n 的意义，并能用组合意义证明ni ＝ 0Cin ＝ 2n。
        例６证明
        Cln ＋ 22C2n ＋ 32C3n ＋…＋ n2Cnn ＝ n（n ＋ 1）2n －２。
        分析：本题左边与例５左边类似，不同的是例５左边为ni ＝ liCin，而本题为ni＝ Li2Cin。只要在例５构造的模型中加上同时还要选一个干事，并且干事和团长可以是同一个人，即可符合原式左边。对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况。若团长和干事是同一个人，则有n2n － 1 种选法；若团长和干事不是同一个人，则有n（n － l）2n － l 种选法。所以，共有n2n － l ＋ n（n － l）2n － 2 ＝ n（n ＋ l）2n － 2 种选法。
        若把恒等式中较简单的一边去掉，变为化简组合式，用此法同样能完成化简，读者可自己体会。用组合数的意义证明组合恒等式，除了对提高学生的智力及观察分析问题的能力有帮助外，还有它独到的好处，那就是把抽象的组合数还原为实际问题，能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能提高学生的学习兴趣。所以，老师在教学过程中适当介绍一些这方面的内容，将是大有益处的。