欲善其事，先利其器

       第二种情况：
        题目中给出图形或图形的简单描述，求解相关问题。这种题型一般不能通过图形观察得到所要的结果，这就需要找到与其配套的代数模型，或放在坐标系中用代数方法来研究，将问题简化、破解。 
        例1、若AB=2，AC=　2BC，则S△ABC的最大值______。
        解题思路：本题若知道C点的轨迹是圆，就可以直接通过图形观察什么位置的三角形面积最大。还可以通过以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0）、B（1，0）。设C（x，y），由AC=　2BC可得（x-3）2+y2=8，方程出来后就很容易得到C在以（3，0）为圆心、2　2为半径的圆上运动。S△ABC=　·AB·|yc|=|yc|≤2　2。这就是我们常说的解析法，换而言之就是用代数思想解决几何问题。
        例2、（南京09年二模）从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC=2，∠A=90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为______。 
         
        分析：本题设出两正方形的边长为变量x、y，根据BC长可得到关系式x+y=1，再根据基本不等式的变形式子x2+y2≥　　　　得解。
        例3、将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=　　　　　　　,则S的最小值是______。
        分析思路：通过图形是不容易得到最值结果的，可从代数角度去思考。设剪成的小正三角形的边长为x，
        再利用导数求函数最小值方法。
        S′（x）=0，0<x<1，x=　。当x∈（0，　]时，S′（x）<0，递减；当x∈[　，1）时，S′（x）>０,递增。故当x=　时，求解S的最小值是　　　。
        三、繁即简
        利用化归与转化思想，能将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题，灵活多变，无统一模式。可利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。鼓励学生读题时要告诉自己：复杂的就是简单的，考再难的题，知识点和方法都是自己掌握的。有了这样的心理暗示，一则增加了自信，二则思考问题就会有方向，朝着基本方法和基本知识点、通性通法去思考。
        例1、（09年江苏高考第14题）：设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn=an+（n=1，2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则6q=_____-9______。
        解题思路：本题牵涉到两个数列，把握以等比数列为背景这一关键，将各数按照绝对值从小到大的顺序排列，各数减1，结合等比正负相间的特点，化繁为简，再通过观察即可迅速得解。
        例2、（江苏2011高考20题）：设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）=2（Sn+Sk）都成立。（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{an}的通项公式。
        解题思路：本题为最后一题压轴题，学生看到这道题的第一感觉是复杂，进而惊慌失措。要做到不慌不忙、快速而准确的解题，就要全面地、细致地弄清问题中的各种信息，理出思路，进行破题。
        例如：第（1）问中利用k=1，∴n>1，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），∴Sn+2+Sn=2（Sn+1+S1）。具体到Sn，Sn-1，Sn+1，S1之间的关系，将繁杂进行第一步简化；接着思考Sn，an的关系，作差后有：an+2+an=2an+1，所以，n>1时，{an}成等差，进而得到第二步简化；而a2=2，视Sn=a1+a2+…+an回归到前三项和而进行第三步简化。从而有S2=3，S3=2（S2+S1）-S1=7∴a3=4，∴a5=8。
        第（2）问实际是第一问的反复重演。可借助（1）中的解题思路将繁琐的问题进一步简化，从而由题意可得：
        n>3，Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3），（1）；n>4，Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4），（2）；n>4，Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3），（3）；n>5，Sn+5+Sn-3=2（Sn+1+S4），（4）。
        当n≥5时，回归到简单的（1）、（2）、（3）、（4），化繁为简，此题即破。由此可知，只要目标明确，条理清楚，就能成功解题。如：
        由（1）（2）得：an+4-an-3=2a4，（5）由（3）（4）得：an+5-an-2=2a4，（6）由（5）（6）得：an+5=an-3+ad2=an+4-2a4+2d2，（9），an+4=an-2+2d1=an+5-2a4+2d1，（10），由（9）（10）得：an+5-an+4=d2-d1，2a4=d1+d2，an-2-an-3=d2-d1;∴{an}（n≥2）成等差，设公差为d。
        在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
        2a1+6a2+15d=2（2a1+5a2+5d），
        即4a2-5d=-2；2a1+8a2+28d=2（2a1+7a2+9d），
        即3a2-5d=-1，∴a2=3，d=2，∴an=2n-1。
        “工欲善其事，必先利其器。”领悟以上三种很实用的破题方法,灵活运用在解题实践中,就能将复杂问题简单化。将繁琐的题干进行瘦身,化难以琢磨的困惑为条理清晰的思路,从而形成严谨、周密的解题计划。只要利器在手，遇题就能顺风顺水。每一位数学高考状元，谈到切身感受时，讲的较多的一句话是：整个考试过程中，想的比做的多。这启发我们，破题对解题是至关重要的。的确，掌握适合自己实用的破题方法是解题的关键，也是同学们学好数学的有力保证。破题的学问博大精深，只有逐步揣摩、逐步领会，才能把握其精髓。