换元放缩思路综合探究

       解法二：换元放缩思路。
        令3x=t（t>0），则原式可转换为：t2-（k+1）t+2>0。
        移项并两边同除以t（t>0），则可知：k+1<t+　。
        而又不等式的性质可知：t+　≥2　2 
        所以：k+1<2　2 
        即：k<2　2-1
        所以k取值范围是（-∞，2　2-1）。
        点评：第一种方法是换元与二次函数的性质结合求解，根据函数的开口向上，利用根与系数的关系，就可讨论t>0使不等式成立的条件，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种方法是换元转换后将不等式等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。通过对比，第二种方法思维过程简单，省时灵活，将参数特性充分显示在不等式中，使这个辅元，转换了角色，变成了主元，得到了讨论。换元后将复杂方程转换为一元二次不等式是解题的基础，应用等效转换的形式将辅元参数转换为主元是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。
        四、换元放缩在函数中的应用
        例4、函数y=　　　的值域是_____。
        解法一：常规思路。
        令t=　x+4≥0 
        则原函数可转换为：y= 
        近而可看作以y为参数的方程，即：yt2-t+y=0 
        此方程有非负实根的充要条件是：（1）y=0时，代入方程，即可得t=0，满足题意。
        （2）y≠0时，根据方程有大于零的实根，两根之和等于一次项系数的相反数，得不等式组：
        　△=1-4y2≥0
        t1+t2=　>0
        解得：y∈（0，　] 
        综合（1）、（2），y∈（0，　]。
        解法二：换元放缩思路。
        令t=　x+4≥0 
        则原函数可转换为：y=　　=　　≤ 
        又从函数的表达式可知：y≥0 
        所以y∈[0，　]。
        点评：第一种方法采用换元将函数转换成含参方程，使得函数变成了参数，利用一元二次方程根的判别来求解函数的值域。第二种方法换元后，利用换元后自变量的定义域直接对函数形式转换，采用放缩形式得到结果。第二种方法求解思路简单，求解过程明了，彰显了数学思维的简捷美。换元转换是解题的基础，形式转换是解题的关键，应用放缩是解题的技巧。
        五、换元放缩在二元函数中的应用
        例5、已知　　　　　　　，求log9（3x+3y）的最小值。
        解析：不等式组对应的可行域如图中的阴影及以上的部分。
        log9（3x+3y）≥log92　3x+y=log92+　　（x=y时取等号）
        令z=x+y,易知直线y=-x+z过点A（　，　）时，z取最小值　。
        log9（3x+3y）≥log92+　≥log92+   
        从而当x=y=　时，log9（3x+3y）取最小值log92+　。
        点评：本题只能在线性规划的基础上利用换元放缩得到结果。将问题建立在线性规划的基础上求解的思维方式是解题的基础，采用放缩与换元的方式将所求复杂函数转换为线性规划的目标函数是解题的关键，做图找到可行区域是解题的技巧，理解换元函数是目标函数的截距就能使问题得以解决。