众里寻他——求解一类恒成立问题的通法

       （ii）求函数f（x）的单调区间。
        （Ⅱ）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1、x2∈（1，+∞），x1<x2，设m为实数，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且α>1，β>1，若|g（α）-g（β）|<|g（x1）-g（x2）|,求m的取值范围。
        分析：（Ⅰ）略。
        （Ⅱ）由于g（x）是抽象函数，通过等价转化显然是行不通的，“众里寻他法”舍你其谁？
        解：（Ⅰ）略。
        （Ⅱ）由题设知，g（x）的导函数g′（x）=h（x）（x2-2x+1），其中函数h（x）>0对于任意的x∈（1，+∞）都成立。所以当x>1时，g′（x）=h（x）（x-1）2>0，从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增。
        1、当m∈（0，1）时，有a=mx1+（1-m）x2>mx1+（1-m）x1=x1，α<mx2+（1-m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2）。所以由g（x）的单调性知：g（α）、g（β）∈（g（x1），g（x2）），从而有|g（α）-g（β）|<|g（x1）-g（x2）|，符合题设。
        2、当m≤0时，α=mx1+（1-m）x2≥mx2+（1-m）x2=x2,β=（1-m）x1+mx2≤（1-m）x1+mx1=x1。于是由α>1，β>1及g（x）的单调性知：g(β)≤g（x1）<g（x2）≤g（α），所以|g（α）-g(β)|≥|g（x1）-g（x2）|，与题设不符。
        3、当m≥1时，同理可得α≤x1、β≥x2，进而得|g（α）-g(β)|≥|g（x1）-g（x2）|,与题设不符。
        综合上所述得所求的m的取值范围为（0，1）。
        点评：此题运用“众里寻他法”来解倒不难想到，但以抽象函数为背景，是绝大部分考生始料未及的。这给平时惯用的以“导数”为工具来解决此类问题的思维方式提出了严峻的考验，体现了新课程理念所倡导的对数学思想方法本质的理解，也符合“构建共同基础，提供发展平台”的新课程理念，这正是命题者的“匠心”所在。
        庐山面目
        “众里寻他法”中的“众”，就是指包含所求参数范围的大范围（根据题意，可由题设推得）。在这个大范围中，证明“某一范围”满足题设，余下的范围都不满足题设，实质上就是证明了“某一范围”既是题设的充分条件，又是题设的必要条件。这个“某一范围”就是“他”——参数的取值范围。 在求解恒成立问题中的参数取值时，如等价转化比较困难，不妨试一下“众里寻他法”。
        就数学思想方法而言，牢记其适用范围和使用步骤固不可少，“但是揭示其真实内涵、思想意境以及文化价值，对于学生日后的成长也许更加终身受用”(张奠宙语)。充分挖掘隐藏在数学知识和数学思想方法中的人文价值，是每位数学教师义不容辞的责任。