浅探“时钟夹角公式”在初中数学中的一点应用

        “钟面上的数学问题”是小学阶段的常见问题，围绕速度、角度、对称等知识，利用一元一次方程的解决夹角问题更是小学中的重点内容，那学生到了初中又如何再次深入钟面进行探究呢？笔者认为学生在苏科版七年级学习了《用字母表示数》和《二元一次方程组》，可以找出求时针和分针的夹角的“时钟夹角公式”，利用它在已知分针与时针夹角后求具体时刻． 
        一、探究任意时刻的时钟夹角公式，为建立二元一次方程模型提供条件
        学生发现若用α表示前针转过的角度减去后针转过的角度，那夹角就是α或360°－α。若分针在前：α=5.5n-30m；若时针在前：α=30m-5.5n，得出“时钟夹角公式”是|30m-5.5n|°或360°-|30m-5.5n|°。
        二、特例研究，培养从特殊到一般的思想
        1、变量取值范围
        因为时钟12小时一循环，m可以取0，1，2，…，11；n可取0，1，2，…，59。所以|30m-5.5n|<330。
        2、时针与分针重合 
        问题１：现在1点整，什么时刻分针和时针第一次重合？（引出方程的思想）
        分析：第一次重合即m=1，夹角等于0，即|30m-5.5n|或360-|30m-5.5n|等于0，因为|30m-5.5n|<330，30-5.5n=0。
        解：由30-5.5n=0得n=5　，所以第一次重合的时间为1∶5　。
        问题２：从0∶00开始12个小时内时针和分针会重合几次？你能写出所有的时刻吗？
        分析：由上题知解方程30m-5.5n=0即可，枚举法列出所有解。
        解：解方程30m-5.5n=0得时钟在下列时刻时针与分针重合：0时0分，1时5　分，2时10　分，3时16　分，4时21　分，5时27　分，6时32　分，7时38　分，8时43　分，9时49　分，10时54　分，共重合11次。
        由一元一次方程向二元一次方程递进，探索利用夹角公式解决夹角问题的一般步骤，在解题过程中加深对解的合理性的理解，关注到解的取值范围是方程思想的重要内容。
        3、分针与时针成一条直线（不含重合）
        问题3：从0∶00开始12小时内，分针和时针会在什么时刻成一条直线（不含重合）？
        分析：|30m-5.5n|=180或360-|30m-5.5n|=180，即30m-5.5n=180或30m-5.5n=-180，要关注解的合理性，注意解的取值范围。 
        解：∵|30m-5.5n|=180
        ∴30m-5.5n=180或30m-5.5n=-180。