灵活运用二次函数，提升学生解题的综合能力

        （3）y=x2+2|x|-1
        这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像。
        二、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
        类型Ⅳ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<　。
        （Ⅰ）当x∈（0,x1）时，证明x<f（x）<x1。
        （Ⅱ）设函数f（x）的图像关于直线x=x0对称，证明x0<　。
        解题思路：
        本题要证明的是x<f（x）、f（x）<x1和x0<　，由题中所提供的信息可以联想到：①f（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程f（x）-x=0可变为ax2+（b-1）x+1=0，它的两根为x1,x2，可得到x1,x2与a、b、c之间的关系式。因此解题思路明显有三条：①图像法；②利用一元二次方程根与系数的关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：                             
        （Ⅰ）先证明x<f（x），令f（x）=f（x）-x，因为x1、x2是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax2+bx+c，所以f（x）=a（x-x1）（x-x2）。
        因为0<x1<x2,所以,当x∈（0,x1）时, x-x1<0, x-x2<0，得（x-x1）（x-x2）>0。又a＞0,因此f（x）＞0,即f（x）-x＞0。至此,证得x<f（x）。
        根据韦达定理,有x1x2=　。∵0＜x1＜x2<　，c=ax1x2<x=f（x1）；又c=f（0）,∴f（0）<f（x1）, 根据二次函数的性质，曲线y=f（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y=f（x）在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到。由于f（x1）>f（0），所以当x∈（0,x1）时f（x）<f（x1）=x1，即x<f（x）<x1。
        （Ⅱ）∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+-　）2+（c-　） （a>0）；函数f（x）的图像的对称轴为直线x=-　,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意得x0=-　。因为x1、x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-　　。
        ∵x2-　<0，∴x0=-　=　（x1+x2-　）<　,即x0=　。
        二次函数，具有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以用它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。