浅谈恒成立问题的解题方法
来源:岁月联盟
时间:2014-10-15
当x=1时,1≤f(1)=a+b+c≤1,所以a+b+c=1……(2)。由(1)、(2)得:b= ,a+c= ,
所以f(x)=ax2+ x+ -a。又因为x-f(x)≤0对于任意的x恒成立,所以ax2- x+ -a≥0恒成立。
所以存在常数满足题意。
说明:在第二种方法中,我们是通过利用不等式中的等号,快速简单地求出从而达到化简解题过程的目的。
三、利用最值
例3、定义在(-∞,3]上的减函数f(x)使得f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对一切x∈R成立,求实数a的取值范围。
分析:本题可先利用函数的单调性去掉对应法则f,得a+1+cos2x≤a2-sinx≤3,再利用恒成立知识去求解,其中用到了函数的最值思想。
解:由题意知只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤3恒成立。由a+1+cos2x≤a2-sinx,得a2-a- ≥-(sinx- )2。由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx。
说明:“f(a)≤g(x)或f(a)≥g(x)对于给定区间上的一切x恒成立” 问题,实际上最终可转化为求函数在给定区间上的最小值或最大值问题,即f(a)≤gmin(x)或f(a)≥gmax(x),然后再解相应的不等式即可。其中也用到了分离常数这一思想。
四、数形结合
例4、若不等式x2-logax<0在区间(0, )内恒成立,求实数a的取值范围。
分析:本题为超越不等式,其中既有二次函数,又有对数函数,因此难以用常规方法来求实数a的取值范围。将不等式x2-logax<0转化为x2<logax在区间内恒成立,因此可以考虑画出函数f1(x)=x2与f2(x)=logax的图像,然后观察当a为何值时函数f1(x)=x2的图像在恒在f2(x)=logax图像的下方。
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