数学的逻辑思维能力应从数列解题中培养

摘  要:数学的逻辑思维能力是借助于数学概念进行判断与推理来解决数学实际应用问题的能力。它是深入挖掘数学概念的内涵与拓展数学概念的外延的完整的思维过程。本文从数列解题的角度阐述了如何培养学生的逻辑思维能力。
关键词：数学　逻辑思维　数列解题　能力培养
        高中数学中数列教学是整个数学思维能力培养的一个不可缺少的重要环节。因为解决数列问题一般是通过数列的通项公式或者通过数列的递推公式来解决，而数列的递推公式具有数学关系的普遍性与特殊性完美结合的标识，它包含两个部分，即递推关系与初始条件，二者缺一不可。数列的递推公式突出了转化思想，要把一些特殊的数列问题转化为等差数列与等比数列的解题思路来解题。下面就阐述一下怎样运用递推公式内含条件的转化来解题的。
        下列两例就是从可归纳为等差与等比数列类型的递推公式思路出发的解题思想：
        例1、已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）。
        （Ⅰ）设bn=an+1-an（n∈N*），证明{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项。
        （Ⅰ）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1，n≥2。又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列。
        （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，a2-a1=1，a3-a2=q，……an-an-1=qn-2（n≥2）。将以上各式两边相加，得an-a1=1+q+…+qn-2（n≥2）。所以当n≥2时，
an=
        （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1。
由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8，由q≠1得
q3-1=1-q6　　　　　　　　　　　　　　　　①
        整理得（q3）2+q3-2=0，解得q3=-2或q3=1（舍去）。于是q=-　2。
        由①可得an-an+3=an+6-an，n∈N*。 
        所以对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项。
        本题主要突出了等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法。
        例2、已知数列{an}的前n项和sn=2an-2n。
        (Ⅰ)求a3、a4。
        (Ⅱ)证明：数列{an+1-2an}是一个等比数列。