用“发散”提升自主学习能力

        随着课程改革的不断深入，人们对学习方式的改变越来越予以关注。如今听课时常听到有人私下议论：这节课学生的自主学习不够。然而究竟什么是自主学习？课堂上又如何实施自主学习？新课标要求让过程成为目标，注重知识的形成过程，为学生提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识。而发散思维正是“尽快联想，尽多作假设和提出多种解决问题方案”的特点，有助于提高学生自主学习的能力。
        一、通过引导学生对问题解决思路的确定进行发散，提高学生的自主学习能力
        在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性，及时帮助学生消除思维定势的影响，扫除造成思维僵化的障碍，是培养学生思维需要解决的首要问题。教师应引导学生充分利用发散思维，从不同的角度、用不同的方法加以分析。
        【例1】求证：  
        证法1：（运用二倍角公式统一角度）
        证法2：由tanθ（逆用半角公式统一角度），
        证法3：（运用万能公式统一函数种类）设tanθ=t，
        证法4：(由正切半角公式，利用合分比性质)
        证法5：(分析法)
        要证原式成立，只需证        　　　　　　　　　 ；
        只需证（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ
=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）；
        即证（1-cos2θ）sin2θ+sin22θ
=（1-cos2θ）sin2θ+（1-cos2θ）（1+cos2θ）；
        即证sin22θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ）。
        上式显然成立，以上过程步步可逆，原式得证。
        一题多解可以拓宽思路，增强知识间的联系，让学生学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
        二、通过引导学生对问题的其他变式结论进行发散，提高学生的自主学习能力。
        对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论，让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。问题是激发思维的起点，矛盾是推动思维的动力。问题设计得科学艺术，能激起学生的动机、开阔学生的思路、诱发求知的欲望，使学生的思维由潜伏状态转入活动状态，有利于发散思维的形成。设疑要从学生熟悉的角度和关心的事物入手，提出具有启发性、探索性的问题，使学生产生探究的认知心理。
        【例2】已知：sinα+sinβ=　(1)，cosα+cosβ=　(2)，由此可得到哪些结论？
        让学生进行探索，然后相互讨论研究，各抒己见。
        想法一：(1)2＋(2)2可得cos（α-β）=-　　（两角差的余弦公式）。 
        想法二：(1)×(2)，再和差化积：sin（α+β）[cos（α-β）+1]。