用“发散”提升自主学习能力

结合想法一可知：sin（α+β）。
        想法三：(1)2-(2)2再和差化积：2cos（α+β）[cos（α-β）+1]。
        结合想法一可知：cos（α+β）。
        想法四：　，再和差化积约去公因式可得tg进而用万能公式可求出sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）。
        想法五：由sin2α+cos2α=1消去α得：4sinβ+3cosβ；消去β可得4sinα+3cosα=　（消参思想）。
        想法六：(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式。
        (1)-(2)并逆用两角差的正弦公式。
        想法七：(1)×3-(2)×4：3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，sin（α-θ）+sin（β-θ）=0，
        即2sin 
        ∴α=2kπ+π+β（与已知矛盾舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈z）；
        则sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）均可求。
        开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系，要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论。这样有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
        三、通过引导学生对问题的条件进行发散，提高学生的自主学习能力
        对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度、用不同知识来解决问题。发散思维的特点是发散辐射广、思维方向多。在数学学习中常会遇到这样的题目：一题能否多变？这类题目就凸显了数学学习在过程、积累以及实践运用中的特点。教师要能够充分启发学生的观察力和想象力，让学生的思维发散开去，努力培养学生的创新思维习惯。
        【例3】对于等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，显然，四个变量中知道三个即可求另一个（解方程），如：“｛an｝为等差数列，a1=1，d=-2。问-9为第几项？”然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中，学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握，否则，信手拈来会闹出笑话。上题中，若改d=-3，则-9为第　项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列的通项公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题，提高思维迁移的灵活性。
        在提倡素质教育、提高教学质量的今天，要让学生适应社会发展的同时凭借自己的才能去创造世界，就应该培养学生多方面的能力。由此可见，数学的开放性、多样性，不仅是生活需要的反映，也是人的认知结构、认知力的反映，不仅生活需要开放的数学教育，学生认知潜力的发展也需要开放的数学教育。因此我们在数学教育中要培养学生的发散思维，以适应社会发展的需要；同时要记住，科学育人，持之以恒，定能使学生思维敏捷、思路开阔、想象丰富，从而提高教与学的效率，更重要的是为学生今后成为创造性的人才奠定良好的基础。