解读高中数学中的抽象函数

         抽象函数问题是高中函数中的一类综合性比较强的问题，学生往往感到无从下手。解决这类问题要求学生抽象思维能力、综合运用数学知识的能力较强，但是，教师只要引导学生准确掌握所学基本初等函数的图象和性质，分清是哪一类函数的抽象，可以优化思路，使问题难度降低，从而得以解决。
           下面举例说明：
        形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m为常数)
        思路：看作 一次函数的抽象，联想一次函数的图象及性质。特例：m=0时，联想过原点的直线。
         例1.函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)=f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1．
         （1）求证：f(x)是R上的增函数；
         （2）若f(4)=5，解不等式f(3m2－m－2)<3．
 （1）证明：设x1<x2，则△x=x2－x1>0，
         ∵x>0时，f(x)>1
         ∴f(x2－x1)>1，
         ∵f(x2)－f(x1)=f(x1＋x2－x1)－f(x1)
         =f(x1)＋f(x2－x1)－1－f(x1)
         =f(x2－x1)－1>0 
         (2) ∵f(4)=f(2＋2)=2f(2)－1=5，∴f(2)=3．
         又f(x)是R上的增函数，
         ∴f(3m2－m－2)<3 f(3m2－m－2)<f(2) 
         ∴f(x)是R上的增函数．∴f(3m2－m－2)<3 
         f(3m2－m－2)<f(2) 
         3m2－m－2<2 －1<m<
         解得不等式解集为{m|－1<m< 4/3 }．
        点评 1.回归定义，充分运用已知条件:x>0时，f(x)>0 △x=x2－x1>0，f(x2－x1)>1                                                
         2.等价转化思想：运用函数的单调性，去掉函数符号，转化为解关于m的不等式。 
          
         思路：联想幂的运算性质，可看作指数函数的抽象，结合指数函数的图象和性质进行解题。