一道课本问题的变式训练

      北师大版教材九年级上册第一章第二节提出问题“在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？”，这是等腰三角形的性质及三角形全等的知识的综合应用，由于学生在七年级就接触过这两个知识点，故对学生来说掌握起来很容易，学生在课堂上的思维训练没能达到一定的高度，针对这种情况，笔者在授课的过程中对这一课本问题进行变式，使本节课的知识达到了一定的梯度，让学生的思维产生了极大的碰撞，提高了学生的解题能力．现举例如下：
        变式一：如图，Ｄ为等腰三角形ＡＢＣ的底边ＢＣ上任意一点，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，过点Ｃ作ＣＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，那么ＤＥ、ＤＦ、ＣＭ之间存在怎样的数量关系？并加以说明．
        分析：首先引导学生大胆猜想三条线段的数量关系，学生很容易想到：ＣＭ＝ＤＥ＋ＤＦ．其次引导学生分析该问题属于证线段的和差关系，应采用截长补短法．法一：截长法．可以过点Ｃ作ＣＮ⊥ＥＤ并交ＥＤ的延长线于点Ｎ，易证四边形ＭＥＮＣ为矩形，可得ＥＮ＝ＣＭ，欲证ＣＭ＝ＤＥ＋ＤＦ，只须证ＥＮ＝ＤＥ＋ＤＦ，而ＥＮ＝ＤＥ＋ＤＮ，故证ＤＮ＝ＤＦ即可．通过证△ＤＦＣ≌△ＤＮＣ即可得到ＤＮ＝ＤＦ．法二：补短法．过点Ｄ作ＤＩ⊥ＣＭ并交ＣＭ于点Ｉ，证ＣＩ＝ＤＦ即可．法三：由于ＣＭ是等腰三角形的高，于是联想到等积法．可连接ＡＤ，因为△ＡＢＣ的面积等于ＡＢ•ＣＭ，△ＡＢＣ的面积还等于ＡＢ•ＤＥ＋ＡＣ•ＤＦ，又ＡＢ＝ＡＣ，故ＣＭ＝ＤＥ＋ＤＦ．
        通过此题，引导学生归纳出“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质．
        这是一道很常规的证线段的和差问题，学生想到方法一、二很容易，此题出彩点在引导学生想到等积法及归纳出等腰三角形的又一重要性质，并应用该性质解题，于是引出变式二、三．
        变式二：点Ｄ是边长为２的等边三角形ＡＢＣ的边ＡＢ上任一点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于Ｆ，那么ＤＥ＋ＤＦ的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
        分析：这是某省市一道中考填空题．有了变式一的基础，学生很容易知道求ＤＥ＋ＤＦ的值就是求等边三角形一边上的高，再利用三线合一及勾股定理可求得ＤＥ＋ＤＦ＝．
        解：过点Ｂ作ＢＧ⊥ＡＣ于Ｇ，连接ＣＤ．∵ＳＡＢＣ＝ＡＣ•ＢＧ，又∵ＳＡＢＣ＝ＡＣ•ＤＦ＋ＢＣ•ＤＥ∴ＡＣ•ＢＧ＝ＡＣ•ＤＦ＋ＢＣ•ＤＥ，而ＡＣ＝ＢＣ，故ＤＥ＋ＤＦ＝ＢＧ．
        又∵等边三角形三线合一可知Ｇ为ＡＣ的中点，∴ＡＧ＝１．∴ＢＧ＝．即ＤＥ＋ＤＦ＝．