一道不等式证明问题的感想

       四、变量转换出新意，纲举目张非奇迹。
        分析：把变量a当成主线，变量a的范围可以牵出f(x)的范围，它体现出变量转换的神奇，当然这并不影响变量之间的内在联系，却为不等式的构造开辟了新的途径。
        证明四：（1）当x2―1＜0 时，f(x)=ax2+x―a变形为：a= (f(x)―x)/ (x2―1), 
        ∵|a|≤1，∴|(f(x)―x)/ (x2―1)|≤1  ∴  ―1 ≤(f(x)―x)/ (x2―1)≤1 ，
        去分母得：x2―1+x≤f(x)≤―（x2―1）+x 
        ∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
        ∴―5/4≤f(x)≤5/4
        （2）当x2―1=0时，f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，显然|f(x)|≤5/4。
        综上可知|f(x)|≤5/4。
        五、 常规思路也见效，分类讨论须知道。
        分析：这本来就是二次函数f(x)在闭区间（x∈[―1,1]）内极值的问题，只要就对称轴 (x=―1/2a)的不同位置分别讨论就可得到结论，当a=0时f(x)为一次函数也不要忘记。
        证明五：函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，
        （1） 当a=0时， f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，结论显然成立。
        （2）当a≠0时，二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)的对称轴是x=―1/2a，由于|a|≤1 ，x=―1/2a∈（―∞，―1/2]∪[1/2，∞）①当|―1/2a|≥1时，无论二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)图象开口如何，x∈[―1,1]都是单调区间，必然有|f(x)|≤|f(1)|或|f(x)|≤|f(―1)|，而|f(±1)|=1，∴|f(x)|≤5/4显然成立。②当|―1/2a|﹤1时，二次函数f(x)=ax2+x―a=a(x+1/2a)2－(4a2+1)/4a(―1≤x≤1)（端点处已无须考虑），在顶点处|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|≤5/4,a=±1时“=”成立。综上可知|f(x)|≤5/4。
        不等式的证明本来就没有一定的模式，是发挥学生想象力的领域，上面五种方法充分做到了这些。