二次函数在高中阶段的应用

        当t＜0时，g(t)=ƒ(t+1)=t2－2
                   t2－2, (t<0)
           g(t)=  -2，(0≤t≤1)
                  t2－2t－1, (t>1)
        首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
        如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。
        三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
        类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1a。
        (Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X<ƒ(x)<x1。
        (Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0< x2。
        解题思路：
        本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0< x2 ，由题中所提供的信息可以联想到：①ƒ(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ(x)－x=0可变为ax2+(b－1)x+1=0，它的两根为x1,x2，可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图像法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：
        (Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)
        因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时, x－x1<0, x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,证得x<ƒ(x)
        根据韦达定理,有  x1x2=ca    ∵ 0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ(x1),      又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1), 根据二次函数的性质，曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=ƒ(x)在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ(x1)>ƒ(0)，所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1，
        即x<ƒ(x)<x1
        (Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a（x+－b/2a）2+(c－),（a>0）
        函数ƒ(x)的图像的对称轴为直线x=－ b/2a,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b/2a，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
        ∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
        二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
        二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。