几个抽象函数问题的粗浅分析

　　A、 2                 B、 0            C、  1                  D、不能确定 
　　解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=[f （x）-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函数，
        ∴y=[f （x）-1]/2也是奇函数，∴[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0  ∴f （x）+f （-x）=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故选A ． 
        五、抽象函数的周期性 
　　例5、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则(    )          
　　(A) f(x)是偶函数         (B) f(x)是奇函数   
　　(C) f(x)= f(x+2)           (D) f(x+3)是奇函数 
        解: ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，， 
        函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数．故选D 
       关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了．
 定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以T=a＋b为周期的周期函数． 
        定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数． 
        定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b  （a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b－a)为周期的周期函数． 转贴于 中国论文下载中
et 定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b－a)为周期的周期函数． 
        定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b－a)为周期的周期函数． 
        性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)； 
        性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b). 
        特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 
        性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(a－b). 
        特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a． 
        从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高．但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手．