摘  要 利用Logistic映射、Henon映射与超混沌M-G系统构造了一类嵌套混沌变参映射，并通过Lyapunov指数证明所构造映射产生信号的混沌性，同时分析其相关性和功率谱特性，然后利用其输出的混沌信号构成图像加密所需要的符号矩阵和灰度矩阵，与经过小波压缩后的图像运算，从而完成图像数据加密。    关键词 混沌；变参映射；Lyapunov指数；相关性；图像加密

1  引言

    混沌是确定性非线性系统所产生的貌似无规则的、复杂的且无需外加任何因素就能表现出似随机过程的一种动力学行为，它初始条件和系统参数极端敏感，轻微的扰动即可产生完全不同的混沌信号，它具有宽频带特性，同时还有类噪声的性质，如尖锐自相关和极低的互相关性。正是因为混沌信号的上述特性，使它被广泛应用于信息与通信保密系统中，如混沌扩频通信^[5]，正是利用混沌信号的类噪声性质、宽带性以及参数和初始条件敏感性，从而产生理论上无穷尽的无周期扩频序列，另外还可以对图像加密、文件加密等，然后在有线通信中传输。    由于离散混沌映射便于采用数字电路实现，符合数字信息和通信保密需要，如使用DSP器件、单片机器件^[3][4]，只需要简单的程序改变即可实现不同的混沌信号。但是数字电路实现的精度有限而导致信号周期化的出现，从而降低混沌保密信息系统的抗破译性，同时由于目前出现并应用的混沌映射数量不多，且多是低维系统^[2]，复杂性不够，因此又增加了系统的可穷举破译性质。    本文分别利用了Logistic映射、Henon映射与超混沌M-G系统构造了一类嵌套混沌变参映射，其中嵌套混沌系统中参数是基于超混沌系统所产生的信号进行改变的，通过Lyapunov指数证明所构造的映射确实产生混沌信号，同时还分析了所产生信号的相关性和功率谱特性，然后利用这些信号构成图像加密所需要的符号矩阵和灰度矩阵，与经过小波压缩后的图像运算，从而完成图像数据加密。

2  嵌套变参映射构造及混沌性分析

    Logistic映射是一种单峰的混沌映射，见式（1）：                     （1）    其中１.401155<a 2的时候，Logistic映射产生混沌时间序列信号。    Henon映射一种二维混沌映射，见式（2）：                 （2）    其中当时，Henon映射可以产生混沌时间序列信号。    超混沌M-G系统是一种时滞超混沌系统，见式（3）：            （3）    为系统状态，p、m、n为系统参数，是时间延迟。该系统的结构虽然非常简单，但却有着复杂的动力学行为。例如，当取p=10，m=10，n=-2，时，系统将具有5个正的李雅普诺夫指数。该系统具有无穷维的相空间，通过改变 的值，可以获得任意多个正的李雅普诺夫指数。对于M-G系统，取积分时间步长0.0001得到M-G系统时间序列信号波形与它的相空间图如图1（b），图1（a）是Henon映射的时间序列信号波形与相空间图，各混沌系统中参数的选取见图1标注。    本文利用Logistic映射、Henon映射和M-G系统构造一类嵌套映射。首先利用Logistic映射和Henon映射构造成三维离散混沌系统，利用超混沌M-G系统的输出的混沌信号来做为所构造映射的参数，利用M-G系统中时延控制参数变化的间隔，即取不同参数值的时间，所构造三维映射中的控制参数为a，b，c；为了仿真，这里对于M-G系统取两套参数，分别是 p=0.2、m=10、n=0.1、和p=10、m=10、n=-2、。过程见式（4）：             （4）    其中A、B系统中参数a、b、c以及变换时间间隔由M-G系统输出和其时延确定。         图1  Henon映射和M-G系统的信号波形与相空间图
    上面所构造映射有（A）（B）两个系统，经取参数研究发现，二者都在一定的参数变化范围之内是混沌系统，如按照a=1.4，b=0.3，c=2代入二系统，会输出性能要好于原二维映射的随机数据，这些数据类似于白噪声信号相关性和功率谱。通过系统的相空间图比较，可见（A）（B）不同。另外通过改变系统第三个方程，可得到另外不同的相空间图，而且可证明在一定参数变化范围时候的混沌性，以下的分析和应用皆针对B系统展开（见图2）。图2  参数a=1.4，b=0.3，c=2时候，A系统（左图）与B系统（图右）的相空间    非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果可用Lyapunov指数λ定量刻画。它正值大小也反映了混沌信号的复杂度。一般一维映射Lyapunov指数见式（5）             （5）    可见一维映射只有一个λ值，而在n维相空间情况下一般有n个λ_i值，而且沿相空间的不同方向，其 λ_i值也是不同的。利用李雅普诺夫指数λ，相空间里初始时刻两点之间的距离将随时间（迭代次数）作指数分离，设为多维相空间的两点之间的距离，经n次迭代后两点之间的距离为，λ_i>0表示沿该方向扩展，反之，则是收缩。     因此Lyapunov指数给出混沌过程对初始条件的敏感依赖性的度量，同时正值的 描述了混沌系统相空间混沌吸引子内部各个轨线之间的不稳定性，研究也证实了在判别一个系统是否存在混沌运动的时候，只要判别其最大Lyapunov指数是否为正的即可。对于多维相空间情况下一般有多个正的 _i值，它的运动情况将会更复杂，因此就把那些Lyapunov指数正值比较大，包含正的Lyapunov指数有两个正的或者更多正的Lyapunov指数时的系统称为超混沌。M-G混沌系统就是一个超混沌系统，但它是一个时滞超混沌系统，而非时滞超混沌系统，它的正的Lyapunov指数不会超过系统的维数，如果要产生更复杂的混沌信号，那必然就要增加系统的结构从而增加维数来使系统具有更大的正的Lyapunov指数，但这种改造对于混沌系统应用于信息和保密通信系统往往是代价太大，不实用。而本文利用的超混沌系统M-G十分简单，系统正的Lyapunov指数不受限与系统维数，它可以产生很多正的Lyapunov指数，从而产生超混沌信号。    对本文中的B系统分析当参数变化的时候其混沌性。由系统方程可初步分析此系统至少有两个正的Lyapunov指数，因为它是一个三维系统，且是两个混沌系统嵌套而成的。固定参数b=0.3，利用“伯内廷”方法^[3]分析当a参数变化时候系统各变量的Lyapunov指数，可以得到随参数变化的指数谱。如图3所示。图3  参数b=0.3，c=2时B系统各变量的Lyapunov指数随参数a变化的曲线    由图3可以看出系统Z变量信号与X变量信号的Lyapunov指数变化趋势是大概一致的，这也可以从系统关于Z变量方程中得知，Z变量是X变量做了非线性运算得到的，故当X变量输出为混沌信号的时候，Z变量也输出混沌信号，同时从图3中的Lyapunov指数比较而得Z变量的混沌信号比X变量混沌信号的指数大，因此更加复杂，而且c参数的取值只要保证平衡性即可，无特殊要求范围，因此c的范围可以很大。另外当a取一定的参数时候，如1.35时候可以使Y变量也输出混沌信号，那么此时就是一个超混沌系统了，利用这时的系统进行通信系统信息传输，保密性将更强。

3  混沌时间序列分析

    B系统映射参数的选取按照如下方式。所构造映射中的参数分别按照M-G系统的τ=100（对应系统参数p=0.2、m=10、n=0.1）和τ=10（对应系统参数p=10、m=10、n=-2）时间延迟取相应M-G系统参数下其输出的混沌信号中的值来取，为了仿真方便，这里取相应时延内的输出某两个固定值，τ=100对应a=1.3，c=2，τ=10对应a=1.4，c=2，然后由嵌套变参映射输出混沌时间序列。以下图像加密所用的符号矩阵与灰度矩阵所需要的混沌信号，就由此参数下的嵌套变参映射输出信号构成。    混沌序列信号不满足绝对可和与能量可积的条件，但功率谱有限可积，因此可以通过功率谱来研究其频域特性。周期变量的功率谱呈现分离尖峰结构，尖峰对应的频率之间存在公倍数；拟周期变量对应的各尖峰间无公倍数现象；混沌和噪声的功率谱在宽的频率范围内都呈现出连续性，因此，若系统的功率谱是连续的时候，说明系统具有混沌特征的可能性。因为混沌吸引子内部存在很多不稳定周期轨道，因此如果若连续谱中除了显现噪声特性外，还具有宽峰谱特性时，那么就是混沌信号的谱。如图4所示。(a)          (b)          (c)图4 白噪声序列和嵌套映射序列X、Z的功率谱    通过，可以发现映射所输出序列的自相关和白噪声类似，随机性和互相关性在取不同参数的时候，也非常弱。参数分别选a=1.4和a=1.38，b、c参数不变化的时候序列的差值信号见图5（a），可见参数很小的变化输出序列差别极大，反映了参数敏感性，因此在图像与文件加密中有大量的加密数据和密钥可用，且无任何联系。图5（b）、（c）分别是白噪声和输出Z序列的自相关，可见非常尖锐，证明其类噪声性质。  (a)                            (b)                             (c)图5  a=1.4和a=1.38，时差值序列及白噪声序列和嵌套映射序列自相关

4  数字图像加密过程

    （1）利用小波包变换的技术对原始图像进行压缩，去除图像中大量的空间冗余信息，降低图像数据之间的相关性，可提高信息传输的有效性和抗破译性。图像矩阵设为I。    （2）利用嵌套变参混沌映射输出的实值混沌序列，并利用生成符号矩阵S和灰度矩阵W，如式（6）。分别代表符号矩阵和和灰度矩阵里面的元素，把这些元素构造成和图像矩阵相同维数矩阵即可。

，取整运算  （6）

    （3）灰度置乱矩阵B实现过程：设图像矩阵中的元素为I（i，j），灰度矩阵元素W（m，n），则灰度置乱矩阵B（p，q）生成如下，见式子（7）：       （7）    （4）加密过程：（B+W）.S，既灰度置乱矩阵与由混沌信号构造而成的灰度矩阵再相加，然后与符号矩阵相乘即可。    以上加密过程如图6（a）（b）（c）分别是原图像、压缩图像和加密后图像，6（d）是当生成符号和灰度矩阵的嵌套映射的参数a相差10^-3的时候恢复的图像，可见参数极微小的变化就不能正确恢复图像，原因就是由于在加密的过程中，不但把原图像的灰度矩阵用混沌信号生成的新矩阵置换了，而且还又和其做了相加运算，可以证明这时候其灰度矩阵元素序列就是混沌信号。经过大量图像加密验证，证明本加密方法不但实现简单而且还有很好的抗破译性。另外本加密方法可用的密钥可以是系统的参数a、b、c和确定系统参数M-G系统的参数p、m、n与其系统时延共同确定，只要其参数在能保证输出混沌特性的参数变化范围内都是可以的。 解密过程为以上加密的逆向运算。

         （a）原图像          (b) 压缩图像         (c)加密后图像   (d)密钥相差0.001后恢复图像图6  图像加密过程

5  结论

    本文利用了三种混沌系统构造了一种嵌套映射，其中Logistic映射、Henon映射相互嵌套构造成新的离散系统，系统中参数变化由超混沌系统M-G系统确定，参数取某值时间的长短M-G系统的时间延迟来确定，不同的延迟时间内又对应不同的M-G系统输出来确定系统这段时间内的参数，所以系统的变化可以非常复杂。又经过Lyapunov指数方法证明系统在一定的参数变化范围内的混沌特性，因此当通过M-G系统来控制这些系统的参数变化的时候，系统输出就可以是变化多样的混沌信号，如果用其加密所要传输的信息，系统的抗破译性非常强。本文就利用这些混沌信号来加密数字图像，所用的加密方法不但实现简单有效，而且由于用混沌信号构造的新灰度矩阵置乱原图像灰度矩阵，因此加密方法抗破译性又进一步加强，而且还不影响接收端信息恢复的速度。

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