流行性脑脊髓膜炎病死率的马尔科夫预测模型

【摘要】  对大庆市1980~1999年流行性脑脊髓膜炎病死率数据，利用马尔可夫链来预测估计未来年份的病死率的状态，为卫生防疫提供的依据。关键词： 流行性脑脊髓膜炎； 病死率； 马尔可夫链 ［1］利用灰色数列模型GM（1,1）对大庆市1980~2000年流行性脑脊髓膜炎发病率和病死率进行预测。结果表明GM（1,1）模型能够较好地反映大庆市流脑的发病情况，但却不能很好地反映大庆市21年间流脑的病死率的。文献［2］通过给定病死率的上限灾变值，对灾变日期序列建立GM（1,1）模型，得到了流脑病死率的灰色灾变预测模型。为了更好地挖掘疾病的流行特征，本研究利用马尔可夫链来预测估计未来年份的发病率的状态，为卫生防疫提供科学的依据。

　　1  资料方法

　　1?1  资料大庆市1980~1999年流行性脑脊髓膜炎病死率资料［1］。

　　表1  大庆市1980~1999年流行性脑脊髓膜炎病死率（略）

　　1?2  方法［3］当用马尔可夫链来描述预测对象时，状态转移概率矩阵是预测的关键。一种最直观的求取状态转移概率矩阵的方法是根据调查资料求解，设原始调查资料数据为X=(x(1),x(2),…,x(N))，其具体方法简述为：

　　1?2?1  对状态进行分类  根据预测对象的实际情况将其分为m个状态，分别记为E1,E2,…,Em。

　　1?2?2  计算N时刻的状态向量N S  由于资料数据的总点数为N，记状态Ei下的点数为ni，i=1,2,…,m，那么由si(N)=ni     N可得N时刻的状态向量NS为：NS=(s1(N),s2(N),…,sm(N))

　　1?2?3  计算转移概率矩阵P  记从Ei状态转移到Ej状态的总数为nij，i,j=1,2,…,m，则由pij=nij     ni可得转移概率矩阵P=(pij)m×m 。

　　1?2?4  预测  因为N时刻的状态向量为N S，那么由转移公式N+1 S=P·N S可得N+1时刻的状态向量N+1 S=(s1(N+1),s2(N+1),…, sm(N+1))，其中sk(N+1)=∑m     i=1piksi(N),  k=1,2,…,m　表示状态Ek在N+1时刻的比例。如果sj(N+1)=max{s1(N+1),s2(N+1),…, sm(N+1)}，则表明N+1时刻对象处于状态Ej的可能性最大。

　　2  结果根据表1数据绘制散点图1。

　　2?1  设流脑病死率为x，根据病死率大小，我们把它分为3类：① x<5为低水平，记为E1；② 5≤x<10为中等水平，记为E2；③ x≥10为高水平，记为E3。

　　2?2  计算1999年的状态向量20S由表1数据和散点图可得总点数为N=20，E1状态下的点数n1=5，E2状态下的点数n2=8，E3状态下的点数n3=7，因此可计算得1999年的状态向量20S=(1     4, 2     5, 7     20)。

　　图1  大庆市1980~1999年流行性脑脊髓膜炎病死率散点图（略）

　　2?3  计算转移概率矩阵P由于n1=5，n11=1，n12=3，n13=1；n2=8，n21=2，n22=2，n23=4。所以可计算得p11=1     5，p12=3     5，p13=1     5；p21=1     4，p22=1     4，p23=1     2 。又因为最后一年（1999年）的转移情况不清楚，所以计算转移概率时把它去掉，所以这里的n3比计算初始状态向量20S时使用的n3小1，即n3=6，n31=1，n32=3，n33=2，因此p31=1     6，p32=1     2，p33=1     3 。根据以上结果，构成状态转移概率矩阵为：P=1／5     3／5     1／5　1／4     1／4     1／2　1／6     1／2     1／3 。

　　2?4  预测2000年的病死率状态（近期预测）首先2000年的状态向量为：21S=20S·P=［ 1／4  2／5  7／20］ 1／5     3／5     1／5　1／4     1／4     1／2　1／6     1／2     1／3=［0.2083  0.425  0.3667］所以2000年的病死率处于状态E2（即中等水平）的可能性最大。

　　2?5  预测未来的病死率状态（远期预测）由于{1，2，3}是闭的非周期的正常返状态集，因此由平稳方程(π1，π2，π3)=(π1，π2，π3) 1／5     3／5     1／5　1／4     1／4     1／2　1／6     1／2     1／3与π1+π2+π3=1解得：π1=0.2193，π2=0.3860，π3=0.3974，所以其最终概率分布为［0.2193  0.3860  0.3947］，也就是说在当时的预防与措施下，流行性脑脊髓膜炎未来的病死率处于状态中等水平E2和高水平E3的可能性较大。

　　3  讨论

　　我们知道，事物的状态总是随着时间的推移而不断变化的，对于有些事物的发展，我们需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来［4］。因此预测事物发展趋势的许多方法，如灰色数列预测方法等都需要掌握一定时期内预测目标过去及现在的数据资料，再利用数学模型对未来进行预测，预测结果受到所收集到的数据的极大限制。而马尔可夫预测法却认为，只要当事物的现在状态已知时，人们就可以预测未来的状态，即马尔可夫链具有无后效性的特性，这就避开了其它预测方法在收集历史资料时所遇到的一系列难题。在此，我们利用马尔可夫链对大庆市1980~1999年流行性脑脊髓膜炎病死率资料作出了近期和中远期预测，结果表明在当时当地的预防与治疗流行性脑脊髓膜炎的措施还做得不够充分，致使当地流行性脑脊髓膜炎未来的病死率仍然可能处于较高水平，因此当地政府及有关医疗部门，应当做好对流行性脑脊髓膜炎的预防与治疗工作，从而控制病死率的状态，使其处在一个较低的水平，使居民健康水平进一步提高。

【】
  　1 冯丹，罗艳侠，鲍卫平，等．流行性脑脊髓膜炎流行特征的灰色预测模型．数理医药学杂志，2003，16（2）：97~99?

　　2 樊爱军，朱志富．流行性脑脊髓膜炎病死率的灰色灾变预测．数理医药学杂志，2004，17（4）：289~290?

　　3 夏安邦，王硕，编著．定量预测引论．南京：东南大学出版社，2001，181~196?

　　4 宓瑞红，王文新．马尔可夫链在贫困县劳动力流动趋势预测中的应用．数理统计与管理，2005，24（4）：42~45?