指数平滑法数学模型的参数估计和预测
【关键词】 数学模型;,,参数估计;,,预测;,,检验,,,,
摘要: 建立二次指数平滑法数学模型,对模型中的参数进行了估计和检验且对模型进行了预测。
关键词: 数学模型; 参数估计; 预测; 检验
1 二次指数平滑法的定义及分布
11 一次指数平滑法的定义
设X1,X2,…,Xn为时间t的观察值(t=1,2,…,n),独立且服从正态分布N(0,σ),对一般情况,做代换Yt=Xt-μ,St(1)为时间序列中时间t达到一次指数平滑值的定义:
St(1)=αxt+(1+α)St-1(1)(t=1,2,…,n, 0≤α<1)
根据递推关系可得:
St(1)=αxt+(1-α)[αxt-1+(1-α)St-3(1)]
=αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2[αXt-2+(1-α)St-3(1)]
=αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1+(1-α)tS0(1)]
因0≤α<1,所以t→∞时,limt→∞(1-α)t=0
那么
St(1)=αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1
12 二次指数平滑法的定义
设S1(1),S2(1),…,Sn(1)为线性趋势某时间序列t的一次指数平滑值,St(2)为时间t的二次指数平滑值,若St(2)=αSt(1)+(1-α)St-1(2),(t=1,2,…,n,0≤α<1)
根据递推关系可得:
St(2)=αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+
α(1-α)t-1St(1)
因E(Xi)=0, Var(Xi)=σ2,Xi独立。
均值E(St(1))=E[αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+
α(1-α)t-1X1]=0
Var(St(1))= Var[αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1]
=Var(αxt)+Var[α(1-α)xt-1]+Var[(1-α)2αXt-2]+…+Var[α(1-α)t-1X1]
=α2Var(xt)+α2(1-α)2Var(xt-1)+(1-α)4α2Var(Xt-2)+ … +α2(1-α)2(t-1)Var(X1)
=α2[1+(1-α)2+(1-α)4+…+(1-α)2t-2]σ2
=α[1-(1-α)2t] 2-α σ2
E(St(2))=E[αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+
α(1-α)t-1S1(1)]=0
Var(St(2))= Var[αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1S1(1)]
=α2Var(St(1))+α2(1-α)2Var(St-1(1))+α2(1-α)4Var(St-2(1))+ … +α2(1-α)2t-2Var(S1(1))
=α2α[1-(1-α)2t] 2-α σ2+α2(1-α)2α[1-(1-α)2t-2] 2-α σ2+… +α3(1-α)2t-21-(1-α)2 2-α σ2
=α3σ2 2-α{1-(1-α)2t+(1-α)2[1-(1-α)2t-2]+(1-α)4[1-(1-α)2t-4]+…+(1-α)2t-2[1-(1-α)2]}
=α2σ2 (2-α)2{1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]
因为St(1)是Xt(t=1,2,…,n)的线性组合,而St(2)是St(1)的线性组合且Xt∈N(0,σ2),所以St(2)、St(1)也服从正态分布:
St(1)~N(0, α[1-(1-α)2] 2-α σ)2
St(2)~N(0, α2σ2 (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)])
2 建立数学模型
假定:序列S1(1),S2(2),……,Sn(1)具有线性趋势变动
预测方程为:
t+T=t+tT t=2St(1)-St(2)
t=α 1-α(2St(1)-St(2))
t+T是第t+T期的预测值,t为预测模型所处的时间周期,T为由预测模型所处的时间周期至需要预测的时间之间的周期数,t,t为参数。
E(t)=E(2St(1)-St(2))=0
E(t)=E(α 1-α(St(1)-St(2)))=0
Var(t)= Var(2St(1)-St(2))=4VarSt(1)+VarSt(2)
=4α[1-(1-α)2] 2-α σ2+α2σ2 (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]
=f(α)σ2
Var(t)= Var(α 1-α(St(1)-St(2)))
=α2 (1-α)2 Var(St(1)-St(2))
=α2 (1-α)2{ σ2α[1-(1-α)2] 2-α +α2σ2 (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]}
=g(α)σ2
因为t,t是Xt的线性组合,所以t,t分别服从正态分布N(0,f(α)σ2),N(0,g(α)σ2)。
3 对参数作出假设检验
假设:H0:t=0, H1:t≠0
t~N(0,g(α)σ2),N=t-0 g(α)σ2~N(0,1)
因为σ2未知,用无偏估计s2=1 n-1∑(Xi-)2代替σ2。
Z=(n-1)Sn2 σ2~X(n-1)2
t=N Z n-1=t g(α)σ2/S2 σ2=t g(α)S2~tn-1
取显著水平α,确定拒绝域为m=(-∞,-t1-α 2(n-1))∪(t1-α 2(n-1),+∞),其中t1-α 2(n-1)满足p{|t|≥t1-α 2} = 1-α,可由t2分布表查表得到。
作决策:若|t|≥t1-α 2(n-1),拒绝零假设H0,说明Xi对方程有显著影响;若|t|≤t1-α 2(n-1),接受零假设H0,说明Xi对方程无显著影响。
4 预测
对于不同的样本,会有不同的拟合直线,当直线变化有一定范围,不考虑扰动项εi仅对t+T=t+tT的均值进行预测,而E(t+tT)恰好是t+T=t+tT的均值E(t+T)。
先:
Cov(t,t)=E((t-Et)(t-Et))=E(t,t)
=E[(2St(1)-St(2))(α 1-α(St(1)-St(2)))]
=α 1-αE(2(St(1))2+(St(2))2-3St(1)St(2))
=α 1-α[2E(St(1))2+E(St(2))2-3ESt(1)St(2)]
因为
EXi2=σ2, EXiXj=0 (i≠j,(i=1,2,…,n))
Eξ2=σ2+μ2(μ=0)
E(St(1))2=Var(St(1))+(E(St(1)))2=Var(St(1))+0
=Var(St(1))=α[1-(1-α)2t] 2-ασ2
E(St(1)St(1))=E[(αXi+α(1-α)Xt-1+α(1-α)2Xt-2+…+α(1-α)t-1X1)(αXi+α(1-α)Xt-1+L+α(1-α)i-1X1)]
=E[α2(1-α)i+t-2X12+α2(1-α)i+t-4X22+…+α2(1-α)t-iXi2+∑dXiXj] (d=d(α)i≠j)
=α2(1-α)i+t-2σ2+α2(1-α)i+t-4σ2+…+α2(1-α)t-iσ2+0+…+0
=(1-α)i+t-2[1-(1-α)-2i] 1-(1-α)-2 α2σ2
=(1-α)i+t-(1-α)t-i α-2 ασ2 (1≤i≤t)
E(St(2)St(1))=E[(St(1)(αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1St(1)))]
=E[α(St(1))2+α(1-α)St(1)St-1(1)+α(1-α)2St(1)St-2(1)+…+α(1-α)t-1St(1)St(1)]
=ασ2α[1-(1-α)2t] 2-α+α(1-α)ασ2[(1-α)-(1-α)2t-1] 2-α+α(1-α)2ασ2[(1-α)2-(1-α)2t-2] 2-α+…+α(1-α)t-1ασ2[(1-α)t-1-(1-α)t+1] 2-α
=α2σ2[(1-1-α)2t] 2-α+α2σ2[(1-α)2-(1-α)2t] 2-α+α2σ2[(1-α)4-(1-α)2t] 2-α+…+α2σ2[(1-α)2t-2-(1-α)2t] 2-α
=α2σ2 2-α[1-(1-α)2t+(1-α)2-(1-α)2t+…+(1-α)2t-2-(1-α)2t]
=α2σ2 2-α[1-(1-α)2t 1-(1-α)2-t(1-α)2t]
=α2σ2 (2-α)2[1-(1+2t-tα)(1-α)2t]
E(St(2))2=Var(St(2))+(E(St(2)))2=Var(St(2))+0
=α3σ2 (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]
Cov(t,t)=α 1-α{2α[1-(1-α)2t] 2-ασ2+α3σ2 (2-α)2[1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)]-3ασ2 (2-α)2[1-(1+2t-tα)(1-α)2t]}
=σ2h(α)
取T=T0固定值
Var(t+T)=Var(t+tT0)
=Vart+T0Vart+T0Cov(t,t)
=f(a)σ2+T0g(a)σ2+T0h(a)σ2
=[f(a)+T0g(a)+T0h(a)]σ2=mσ2
t+T0~N(Et+T0,mσ2)因t,t服从正态分布,标准化t+T0-Et+T0 mσ2~ N(0,1)。当σ2未知时,用σ2的无偏估计S2=1 n-1∑(Xi-)2
代替有:
t+T0-Et+T0 mσ2~ tn-1。
给一个置信度α,查表求出tα 2(n-1)t+T0可以计算。
t+T0-Et+T0∈-tα 2mS, tα 2mS
预测区间为:
Et+T0∈t+T0-tα 2mS, t+T0+tα 2mS,区间大小取决于α。
1 陈宏立,预测与决策方法暨南大学出版社,1998
2 刘次华概率论与数理统计高等出版社,2002
3 严士健,等概率论基础出版社,1999
4 刘振亚计量经济学教程人民大学出版社,1996