用流阻的大小评价血管的最佳形状

【关键词】  泊肃叶定律；流阻；血管形状

　　摘要：讨论了不同形状流管的流阻，给出流阻最小时对应的血管最佳形状为圆管。

    关键词：泊肃叶定律；流阻；血管形状 

　　粘性流体在粗细均匀的圆柱形水平管中稳定层流时，体积流量Q与管子两端的压强差ΔP的关系――泊肃叶定律为［1］：

    Q=πr4ΔP[]8ηl

    式中r是管子的半径，η是液体的粘滞系数，l是管子的长度。

    当管子横截面是椭圆形时，对应椭圆柱水平管，泊肃叶定律为［2］：

    Q=πΔP[]4ηl a3b3[]a2+b2

    式中a、b分别表示椭圆的长、短半轴。

    其它形状的管道情况又如何呢？本研究应用牛顿粘滞定律和牛顿运动定律导出粗细均匀的多边水平柱管中的泊肃叶定律，并讨论其流阻的大小，从而得出流阻最小时对应的管道形状。

    1正n边柱管中的泊肃叶定律

    设流体在正多边柱管中做稳定层流流动，正多边形边数为n，中心o到任一边的垂直距离为r0，如图1所示。

    由粘滞性的一般效应可知［3］，粘性流体在管内流动时，截面上各点速度不同，最外层流体附着管壁，速度为零，管子中心速度最大，层流就像望远镜中一组套管相对滑动一样，内管移动最快，最外管静止不动。对于正n边柱管而言，管内正同轴n边薄流层的流速相同，如图2所示。

    图2多边柱管横截面

    设薄流层厚度为dr（图2中阴影部分），管子两端的压力差ΔP作用于薄流层的推力为：

    dF1 = ΔP dA

    其中dA为薄流层的横截面积：

    dA=2nr・tgπ[]n・dr

    另外这一薄流层在流动过程中还受到内摩擦力dF2的作用，根据牛顿粘滞定律：

    dF2=-ηl・2ntgπ[]n・d(rdv[]dr)

    根据牛顿运动定律可知，它在水平方向所受合外力为零，dF1= dF2

    ΔP・r・tgπ[]n・dr=-ηl・tgπ[]n・d(rdv[]dr)

    整理得：d(rdv[]dr)=-ΔP[]ηlrdr

    积分求解可得：

    v=ΔP[]4ηl(r20-r2)

    流量： Q=[JF(Z]r0[]0[]ΔP[]4ηl(r20-r2)2nr・tgπ[]ndr〖JF)〗

    =nr40ΔPtgπ[]n[]8ηl

    上式即为正n边柱管的泊肃叶定律。

    下面讨论两种特殊情况：

    ① 当n →∞时，横截面为圆形

    Q=limn→∞nr40ΔPtgπ[]n[]8ηl=πr420ΔP[]8ηl

    上式与［1］中的圆柱管泊肃叶定律完全一致。

    ② 当n = 4时，边长为2a的正方形

    Q=4a4ΔPtgπ[]4[]8ηl

    =a4ΔP[]2ηl

    2长方柱管中的泊肃叶定律

    如图3所示，设管子横截面为矩形ABCD，边长分别为2a 和2b，以矩形中央o为原点建立一直角坐标系。

    图3矩形柱管横戴面

    　薄流层（图3中阴影部分）的受力情况：

    管子两端压强差作用的推动力

    dF1 = ΔP・dA

    矩形面积

    A=4xy，dA =4（ x dy +y dx）

    代入上式得：dF1 = 4ΔP（ x dy +y dx）

    粘滞阻力：

    dF2 =-4ηld(x dv[]dy+y dv[]dx)

    稳定流动时dF1 = dF2

    ΔP(xdy+ydx)=-ηld(x dv[]dy+y dv[]dx)

    根据管子横截面大小可知y=b[]ax,dy=b[]adx

    代入上式

    ΔP(b[]axdx+b[]axdx)=-ηld(a[]bx dv[]dx+b[]ax dv[]dx)

    整理(a[]b+b[]a)d(xdv[]dx)=-2ΔP[]ηl b[]axdx

    积分可得：v=ΔP[]2ηl b2[]a2+b2(a2-x2)

    整个长方柱管的流量：

    Q=∫vdA=ΔP[]ηl a3b3[]a2+b2

    3比较不同形状柱管流阻的大小

    泊肃叶定律的另一种形式为：Q =ΔP／ Rf

    式中Rf为流阻，大小由管子的形状及液体的粘滞系数决定。

    在管子长度、横截面积A及粘滞系数η一定的条件下，对不同形状的几种管子的流量、流阻Rf进行比较：

    ① 横截面形状为圆形

    Q=πR4ΔP[]8ηl=1[]8π A2ΔP[]ηl

    Rf=8πηl[]A2

    ② 横截面形状为椭圆形

    Q=πΔP[]4ηl a3b3[]a2+b2 令a=2b  1[]10π A2ΔP[]ηl

    Rf=10πηl[]A2

    ③ 横截面形状为正方形

    Q=a4ΔP[]2ηl=1[]32 A2ΔP[]2ηl

    Rf=32ηl[]A2

    ④ 横截面形状为长方形

    Q=ΔP[]ηl a3b3[]a2+b2 令a=2b  1[]40 A2ΔP[]ηl

    Rf=40ηl[]A2

    4结语

    截面积相同的情况下，椭圆柱管的流阻大于圆柱管的流阻，长方柱管流阻大于正方柱管流阻。

    截面积一定的条件下，圆柱管的流阻最小，所以在液体输送中为了节省能量应采用圆柱管。同样要保证血液在血管内的畅通流动，血管截面的最佳形状应为圆形，任何原因引起的血管形状的变形，都会造成外周阻力增加，从而增加心脏的负担。

    血管损伤后一般根据伤情不同及血管的管径大小的不同采用血管吻合、血管移植和血管代用品置换的手术方法。这些方法都可能导致血管修复过程中的病理变化，引起管腔阻塞，阻塞后不仅要考虑剩余截面的大小，也应考虑剩余截面的形状，截面越接近于圆形流阻越小。

    1胡新珉．医学物．北京：人民卫生出版社，2001，37.

    2王礼祥.椭圆柱管管流泊肃叶定律的两种简明推导.大学物理，1997，16（2）：14

    3［美］ F.  w．sears．大学物理郭泰运等译．北京：人民出版社，1979，401