小波变换用于视皮层简单细胞模型的特性分析
【摘要】 以视皮层简单细胞生理实验结果为基础，阐述了视皮层简单细胞的生理结构和功能。从视皮层简单细胞具有边缘检测功能出发，分析了“边缘检测型”视皮层简单细胞的数学模型,对小波变换在图像处理中的边缘检测原理进行了分析说明，并对小波变换的数学性质描述。结合“边缘检测型”视皮层简单细胞现有的数学模型的特点和小波变换的性质，对小波变换用于建立"边缘检测型"视皮层简单细胞模型的特性进行了分析。
【关键词】 人工智能 边缘检测 小波变换 视皮层简单细胞
随着对人类视觉系统研究的深入,人们对视觉系统的组成、视觉信息的处理通路以及视觉系统中许多种细胞的特性已经有了比较明确的认识。Marr［1］认为，关于视觉信息的处理可划分为3个不同的层次来描述：①理论；②表象和算法；③硬件实现。第一层次是按视觉目的建立映射，即把一种信息映射成另一种信息，并对其抽象性质进行定义和论证；第二层次是输入、输出表象的选择，以及表象表换的算法选择；第三层次是表象和算法的物理实现。无疑，这3个方面的研究工作，都离不开"视觉功能的模拟"研究。它既可为研究提供论证，又可为其提供思想。Hubel和Wiesel［2］指出：在视觉系统中，从视网膜到大脑皮层存在一系列细胞，以"感受野"模式描述。它们被视网膜上相应区域的光感受细胞（视杆细胞核或视锥细胞）所激活，并以高度有序的组织形式，对时空信息进行处理，从而实现对“边缘”、“条纹”、“方向”、“双眼立体”等图像特征的检测。因此“感受野”及其对“感受野”模拟一直是视觉及人工视觉研究的重要课题。
对简单细胞，生上的实验表明，其感受野大致分为两类：一类对特定方向的边缘敏感，称之为“边缘检测器”；另一类对线条敏感，称之为“线条检测器”。
小波理论是80年代后期逐渐起来的一个信号分析理论，是近年来得到广泛应用的数学工具。小波变换是傅立叶变化发展史上的一个里程碑，它源于傅立叶变换又优于傅立叶变换。小波变换已经在图像处理的边缘检测中得到了广泛的应用，取得了很多研究成果。
视皮层简单细胞的模型有很多，比较著名是Gabor函数模型。本研究结合"边缘检测型"视皮层简单细胞现有的数学模型的特点和小波变换的性质，对小波变换用于建立"边缘检测型"视皮层简单细胞模型的特性进行了分析。
1 视皮层简单细胞生理基础
50年代末以来，Hubel［2，3］等人首先开创了对视皮层细胞的研究，他们在视皮层17区第4层上发现了对特殊朝向的条形光刺激有强烈反应得感受野构型。简单细胞就是感受野由若干个兴奋和抑制交错排列的条状子域组成的线性神经元。哺乳动物视觉皮层中的简单细胞代表了视皮层信息处理的第一阶段，它的时空感受野表达是其对刺激的空间和时间特性选择性地产生发放的结果。
简单细胞主要分布在视皮层17区的第4层内。简单细胞的感受野小，呈长形，用闪烁的小光点可以测定其感受野中心区为一狭长形，在其一侧或双侧有一个与之平行的拮抗区。简单细胞对大面积的弥散光无反应，而对处于拮抗区边缘一定方位和一定宽度的条形刺激有强烈的反应，因此比较适合于检测具有明暗对比的直边，对边缘的位置和方位有严格的选择性。
图1 视皮层简单细胞对刺激的反应（略）
电生理实验表明，猫视皮层的简单细胞感受野对亮条刺激具有最优的朝向相应特性。视皮层简单细胞的基本性质是对于空间频率和朝向的选择性, 并被认为具有特征检测的功能，特别是 其中感受野基本上由两个显著子域构成的简单细胞具有边缘检测的功能［4］。
2 小波变换
通俗地讲，小波就是小的波形，所谓“小”是指它具有衰减性，“波”指的是它的波动性。一个函数ψ通过伸缩和平移操作后，形成一个函数簇{Ψab} ：
Ψab(x)|a-1/2|Ψ(a-1(x-b))
单函数Ψ 称为基本小波，而由Ψ派生出来的函数簇{Ψab}称为小波。其中a称为尺度参数，它改变滤波器的频带宽度，从而决定了变换结果中的频域信息；b称为位置参数，它决定了变换结果中的时域信息。由此可见，小波函数是同时具有频域和时域定位特性的函数。
与傅立叶(Fourier)变换、窗口傅立叶变换(Gabor)相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。
2.1 小波变换提取图像边缘定义
小波变换是近年来兴起的一种热门信号处理方法，它良好的时-频局部特性非常适合于图像处理。小波变换对不同频率成分在时域上的取样步长具有调节性，高频者小，低频者大的特点。因此，小波变换能够把信号或图像分解成交织在一起的多种尺度成分，并对大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域取样步长，从而能够不断地聚焦到对象的任意微小细节。小波变换天生具有的多尺度特性，正好可以用于图像的边缘提取。
通常小波函数和一维小波变换可定义如下［6］：
若Ψ∈L1∩L2 ，且它的傅立叶变换(ω) 满足允许性条件：CΨ=∫R|(ω)| |ω|2 dω<+∞ ，则称Ψ为基小波，而
{Ψs(x)|Ψs(x)=1 sΨ(x s),x∈R,s∈R-{0}}
称为小波族，若f∈L2(R) ，则小波变换为：
Wfs(x)=Wf*Ψs(x)=1 s∫Rf(t)Ψ(x-t s)dt
当s=2j, j∈Z 时，Wf={W2jf(x)} 为f(x) 的二进小波变换。
若θ(x,y) 满足条件θ(x,y) >0，且?R2θ(x,y)dxdy =常数，则称θ(x,y) 为光滑函数。令二维小波函数Ψ 1(x,y) 和Ψ 2(x,y) 分别是光滑函数θ(x,y) 在x和y方向上的偏导数，即：
Ψ1(x,y) =?θ(x,y) ?x
Ψ2(x,y) =?θ(x,y) ?y
二维小波变换的定义：
若f∈L2(R2) ，令
W12jf(x,y)=f*Ψ12jf(x,y)
W22jf(x,y)=f*Ψ22jf(x,y) 则
Wf={W12jf(x,y),W22jf(x,y)} ，j∈Z 称为f(x,y) 二维二进小波变换。
2.2 小波变换特性分析
由于小波可以平移，它特别适合分析局部信号特征，如果某一信号中存在一个非常小的间断点，其傅立叶变换的频谱中几乎没有任何异常，但其小波变换的小波系数则能清楚地表明断点的位置和断点的宽度，小波变换在探测信号变化趋势、不连续点、高阶导数不连续点等方面有明显的优势。小波变换将信号拆解成各种拉伸的、平移的小波，小波是不规则的、变化剧烈的，因此对局部边缘检测特别有效［8］。
由于小波变换具有的多尺度特性，图像的每个尺度的小波变换都提供了一定的边缘信息。当尺度小时，图像的边缘细节信息较为丰富，边缘定位精度较高；大尺度时，图像的边缘稳定，抗噪性好。将各尺度的边缘图像的结果综合起来，发挥大小尺度的优势，就能达到精确的边缘图像。
二维小波变换其实质就是f(x,y) 经θ(x,y) 光滑后的梯度：
W12jf(x,y)
W22jf(x,y)=2j? ?x(f *θ2j(x,y)
? ?
y(f *θ2j(x,y)
=2j(f *θ2j）(x,y)
固定尺度2j ，梯度向量的模为：
M2jf(x,y)=|W12jf(x,y)|2+|W22jf(x,y)|
相角为：
A2jf(x,y)=arg tan( | M22jf(x,y)| | W12jf(x,y)|
因此二维信号的梯度矢量可由小波变换的两个成分W1sf(x,y) 和W2sf(x,y) 来确定。这里W1sf(x,y) 和W2sf(x,y) 是f(x,y) 的一个多尺度描述，他们分别表示在s级分辨率下的近似图像沿x ，y方向的偏导，沿梯度方向提取模值的极大值点可得到边缘点。改变s值，可以获得在不同尺度下的边缘。利用小波天生的多尺度特性，提取不同精度、不同奇异度的图像边缘，可以获得良好的效果。
3 简单细胞的数学模型
视皮层简单细胞的基本性质是对空间频率和朝向的选择性，并被认为具有特征检测的功能，特别是其中感受野基本上由两个显著子域构成的简单细胞（本小节称为二极（bipartite）细胞），具有边缘检测的功能［4］。
Daugman［9］对二极细胞建立了二维的Gabor函数模型，如下所示：
Ψ(X)=exp{-π(x2a2+y2b2)}sin 2πu0x （1）
其中X=(x,y) 。Ψ(X) 是高斯包络g(x)=exp{-π(x2a2+y2b2)} 的正弦调制栅格，其朝向与x 轴重合，空间频率为f0=u0 ；g(x) 的主轴与x ，y轴相重合，沿x ，y 轴的方差各为：
σx=1/(a2π) ， σy=1/(b2π)
利用多通道Gabor滤波进行特征提取有其生方面的基础。初级视皮层细胞的多种感受野都可以用二维Gabor函数来描述，表示为：
Gabor(x,y,θ,φ)=Wcos［2π(fx x+fy y+φ］exp(-x2/σ2x-y2/σ2y)
fx=fcosθ,fy=fsinθ
这里，以Gabor函数的中心为坐标原点建立坐标系，(x,y) 表示在该坐标系中的位置。W表示最大振幅，θ为最优朝向，f 表示频率，σx和 σy表示感受野的作用范围。不同的φ 对应着不同的感受野形式：φ=0时为对称性感受野（Gabor函数为偶对称函数）；φ=π/2 时为反对称型感受野（Gabor函数为奇对称函数）。
将图像投影到单个Gabor滤波器上，提取的是图像在该Gabor滤波器对应的频率和朝向上的特征，可以表示为：
simple(x0,y0)=?I(x,y)Gabor(x-x0,y-y0;θ,φ)dxdy
式中，x0,y0 为感受野的中心位置，I(x,y) 为输入图像。当图像在某一频率和方向上有最明显的特征时，与之对应得Gabor滤波器会有最大响应，这样就得到关于目标图像复杂程度（这里有频率代表，频率反映了图像灰度分布或纹理变换的快慢）、朝向、位置的局部特征。这类特征是对特定的复杂程度、朝向、位置有选择性的简单特征。要抽取中等复杂程度的特征，需要对简单特征进一步加工，这种输入、输出彼此衔接，复杂程度逐层递增的特征提取方式与生物视觉层次登记模型的机制相符。
令模型二极细胞（MBC）i 的净输入为neti ，输出为Oi ，其特性可表示为：
Oi=neti neti>T ;
Oi=0 neti≤T 。其中T为阈值，以下设T =0，i位于x 处，则：
neti=∫Ψ(r-x)I(r)dr ，其中I(x) 为图像函数。可以通过旋转产生任意朝向的MBC。
令x′=(x′,y′) ，则：
x′=xcosθ-ysinθ
y′=xsinθ+ycosθ
Ψθ(x)=Ψ(x′)
其中Ψθ(x) 具有朝向θ。
MBC最显著的特性是对台阶边缘的朝向选择性。
4 结束语
人类接收外界信息有80%来自视觉，视觉系统的目的是赋予机器人类视觉处理信息的能力。视觉系统对外界图像的感知，导致了图像信息在视觉通路间的逐级传递和提取。从生理实验结果知道，视皮层简单细胞检测的是细胞感受野某一特定位置上的方位信息，比起从LGN传输过来时信息得到了精取。把小波变换应用于视皮层简单细胞模型的创建，将对模型的稳定性和可用性起到重要的作用。
【】
1 D.Marr.A Computational Investigation into the Human Representation and Processing of Visual Information.1988，24～27.
2 D.H.Hubel & T.N.Wiesel. Receptive fields binocular interaction and functional architecture in the cat's visual cortex.Journal of Physiology，1959，148：574～591.
3 D.H.Hubel & T.N.Wiesel.Functional architecture macaque monkey visual cortex.Proc Roy Soc B,1977,198:1～59.
4 Pollon D A . Visual cortical neurons as localized spatial frequency filters. IEEE Trans. Syst Man Cybern.,1983, 13 (5) : 907～ 916.
5 Daugman J G.Complete discrete 2-D Gabor transform by neural net works for image analysis and compression.IEEE Trans on ASSP,1988,36(7):107～114.
6 季虎，孙即祥，邵晓芳，等.图像边缘提取方法及展望.机工程与应用，2004，14:70～73.
7 姬光荣，王国宁，王宁.基于小波变换的多尺度边缘检测.图象图形学报，1997,2（10）：717～720.
8 Daugman J G. Uncertainty relation for resolution in space, spatial frequency, and orientation optimized by two-dimensional visual cortical filters. J. Opt. Soc. Am. A/2 , 1985, 7 (2) : 1160～ 1169.
9 Feichtinger H G，Strohmer T. Gabor Analysis and Algorithms: Theory and Application. In : Feichtinger H G，Strohmer T,eds. Gabor Analysis and Algorithms.Boston:Birkhauser,1998.
