数学模型与经济的关系并分析经济学中的问题

模型建立^[2]：利润是销售收入与生产支出之差。假设每件产品售价为p,成本为q，销售量为x（与产量相等），总收入与总支出分别是I和C，则可以得到                            I = px                             （1）                                    C = qx                             （2）另外，我们知道在市场竞争的情况下销售量x依赖于价格p，因此销售量应该是价格的函数，记作x = f (p)                          （3）                   这里f称为需求函数，是p的减函数。我们再考虑成本与产品数量的关系。通常情况下，成本是随着产品的数量逐渐降低的，因此可以认为产品的成本是产品数量的函数。记作 q = Q(x)                            （4）    其中，我们把Q叫做成本函数，是x的减函数。这样，x和q都可以由p来确定。可以得到销售收入和生产支出C都是价格p的函数，设利润为U，则可以表示为U(p) = I(p) – C(p)                       （5）其中，I (p) = px = pf (p)，C (p) = qx = Q (x)x =Q (f (p))f (p)。使利润U达到最大的价格就是最优价格。设最优价格为p*，那么可以得到当dU/dp = 0时p的值即为p*。即有dU/dp = dU/dp                当p = p*时。我们把dI/dp称为边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量），dC/dp称为边际支出（价格变动一个单位时的支出的改变量）。上式表明，最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的。为了得到进一步的结果，本文假设出需求函数和成本函数的具体形式。设需求函数是简单的线性函数 f (p) = a – bp    a ，b > 0           （6）           其中，a可以理解为这种产品免费供应（p = 0）社会的需求量，称为“绝对需求量”。b表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度（当然也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度），它反映市场需求对价格的敏感程度。接下来，设成本函数为Q (x) = m + 1/ (tx + n)      m ，t ，n >0         （7）      其中，m表示产品的最底成本，t表示产品数量增加或减少带来的幅度，n调节常数，即产品的最大成本为（m + 1/n）。将（1）~（3）和（6），（7）带入（4）式可得             U (p) = I (p) – C (p)   = pf(p) – Q (f (p))f (p)= (a – bp) [p – m – 1/(ta + n – tbp)]     （8） 用微分的方法可以求出使U (p)最大的最优价格。由dU/dp = 0式和（8）式可以得到b t p –(2btn + 2abt + b t m)p +(n + 2atn + a t + 2abt m + 2btmn)p –m(n + ta) – n = 0           （9）这是一个关于p的三次方程，对于实际问题，当得到a、b 、m 、n 、t的数值带到（9）式中，再用相应的数学方法求出p*。在实际的工作之中，a和b可以由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定。m和n实际上是已知的常数，t也是根据产量的多少可以得出的。对于（9）式的求解在有些时候可能不容易得到精确的数值，我们可以根据实际情况得到具有一定精度的近似值。
3.除了上述最优价格模型，学中的弹性理论，工程中的期货期权理论，最优化和影子价格都是经济和数学的完美结合，数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的大路，同时也使经济学从定性研究向定量研究转化，更加具有理性和发散思维，正是数学和经济学的结合为社会的增加了动力，也为社会创造了很大的物质财富，相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。  1.高鸿业.西方经济学[M]. 北京，人民大学出版社，20042. 迪迪埃.科森，于格.皮罗特.高级信用风险分析：评估、定价和管理信用风险的金融方法和数学模型[M].王唯翔、殷剑峰、程炼 等译.北京：机械出版社，2005