高等数学教学中渗透数学建模思想

【关键词】  高等数学；,,数学建模；,,渗透；,,应用,,,,,

　　摘要：  学习高等数学的目的在于应用数学思想方法解决实际问题，将数学建模渗透到高等数学教学中，可提高学生应用数学知识、方法解决实际问题的能力。

　　关键词：  高等数学；  数学建模；  渗透；  应用    

　　创新是21世纪新知识时代的主旋律，培养具有创新精神的人才是实现科教兴国的关键。具有创新精神的人才必须深刻地掌握技术研究的基本方法：理论研究、科学实验和科学，而这三大基本方法要求具有扎实宽广的数学基础及较强的数学应用意识和应用能力。传统的高等数学教学中，主要是讲解定义、定理证明、公式推导和大量的计算方法与技巧等，这种教学方式会使学生越来越觉得数学枯燥无味，再加上目前的学生深受应试的影响，学习主动性不够，缺乏应用数学知识解决实际问题的意识和能力，因此加强培养学生的数学建模能力具有十分重要的意义。目前大多数医学院校没有开设数学建模课程，高等数学作为一门基础课程有必要将数学建模思想渗透到教学之中。

　　1  数学建模在高等数学教学中的作用

　　11  数学建模可以激发学生学习数学的兴趣

　　高等数学教学内容多，教学课时较少，理论性强，具有较高的抽象性。学生在学习过程中感到枯燥无味，很多学生认识不到学习数学的重要性。由于数学建模是社会生产实践、领域、医学领域、生活当中的实际问题经过适当的简化、抽象而形成数学公式、方程、函数式或几何问题等，它体现了数学应用的广泛性，所以学生通过参与数学建模，感受到了数学的生机与活力，感受到数学的无处不在，数学思想方法的无所不能，同时也体会到学习高等数学的重要性。在建模过程中充分调动了学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性，学生充满了把数学知识和方法应用到实际问题之中去的渴望，把以往教学中常见的“要我学”真正的变成了“我要学”，从而激发了学生学习数学的兴趣和热情。

　　12  通过数学建模可以培养学生的创新能力

　　开展数学建模教学可以培养学生多方面的能力：①培养学生综合应用数学知识及方法进行分析、推理、计算的能力。在数学建模过程中需要反复应用数学知识与数学思想方法对实际问题进行分析、推理和计算，才能得出解决实际问题的最佳数学模型，寻找出该模型的最优解。所以在建模过程中可使学生这方面的能力大大提高。②培养学生的创造能力、联想能力、洞察能力以及数学语言的表达能力。由于数学建模没有统一的标准答案，方法也是灵活多样的，学生针对同一问题可从不同的角度、利用不同的数学方法去解决，最终寻找一个最优的方法，得到一个相对来说最佳的模型，所以有利于发挥学生的创造能力。而对一个实际问题在建模过程中能否把握其本质，抽象概括出数学模型，将实际问题转变成数学问题，需要敏锐的洞察力和数学语言的表达能力。另外，不同的实际问题，在同一知识水平下可以建立相同或相似的数学模型来解决。这需要学生在建模时能够做到触类旁通，充分发挥联想能力。数学建模的过程是发挥学生联想、洞察、创造能力的过程，同时也是将实际问题用数学语言表述的过程。③培养学生团结合作精神，交流、表达的能力。建模过程中学生每人的思想必须通过交流才能达成一致，其结果还要用语言表达清楚。好的想法、大胆的创新，如果不表达出来是不会被人们所理解和接受的。

　　通过数学建模活动可以培养学生数学语言翻译能力，应用已学知识和方法进行综合分析的能力，提高学生的想象力、创新能力和使用现有数学知识的能力。数学建模的开展可整体提高学生的数学素质。

　　2  在高等数学教学中渗透数学建模思想的途径

　　21  在数学概念的引入中渗透数学建模思想

　　在讲导数的概念时，给出两个模型：

　　模型Ⅰ，变速直线运动的瞬时速度。模型建立过程：通过师生共同分析讨论，建立时刻t与位移s之间的函数关系式s=s(t)称之为位移函数。设t0在时刻物体的位置为s=s(t0)。当在t0时刻，给时间改变量Δt，物体的位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0)。于是物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为=Δs[]Δt=s(t0+Δt)-s(t0)[]Δt 。当|Δt|很小可作为物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)的近似值。且当|Δt|越小，就越与物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)接近，即v(t0)=lim〖DD(X]Δt→0=limΔt→0Δs[]Δt=limΔt→0s(t0+Δt)-s(t0)[]Δt 。

　　模型Ⅱ，非恒定电流的电流强度。已知从0到t这段时间流过导体横截面的电量为Q=Q(t)，求在t0时刻通过导体的电流强度？

　　通过对问题的分析，建立数学模型为:

　　i(t0)=limΔt→0=limΔt→0ΔQ[]Δt=limΔt→0Q(t0+Δt)-Q(t0)[]Δt

　　要求解这两个模型，对于简单的函数还比较容易，但对于复杂的函数，极限值很难求出。为了求解这两个模型，我们抛开它们的实际意义单纯从数学结构上看，它们具有相同的形式，可归结为同一个数学模型，即函数的改变量与自变量改变量比值，当自变量改变量趋近于零时的极限值，我们把这种形式的极限定义为函数的导数。有了导数的定义，前面的两个模型就很容易解决了。

　　22  在应用问题教学中渗透数学建模思想

　　以微分方程的应用为例，我们在教学中采取数学建模的思想，结合医学院校学生实际需要，对传染病的传播过程，通过假设建立微分方程模型，可预测SI模型传染高潮的到来时间；可分析SIS模型怎样有效的控制传染病的传播；通过SIR模型的建立和应用可以有效地估计被传染比例，制定相应的群体免疫和预防措施（具体建模过程见［3］）。

　　对“药物对生物膜的渗透” 、“口服药片的溶解浓度” 、“药物在体内的分布和排除” 、“脉管稳定流动中的血液流速问题”等都可以建立微分方程的模型来解答。

　　另外，在讲解导数、微分、积分及其应用时，可编制“商品存储费用优化问题、批量进货的周转周期、最大收益原理、磁盘最大存储量、管理中的黄灯、红灯、绿灯亮的时间”等问题，都可用导数或微积分的数学方法进行求解。

　　概率与统计的应用教学中，“医学检验的准确率问题” 、“居民健康水平的调查与估测” 、“临床诊断的准确性 ”、“不同的药物有效率的对比分析”等实际应用问题都可以用概率与统计的数学模型来解决。

　　在线性代数的应用问题中，可以建立研究一个种群的基因变异，基因遗传等医学问题的模型，使数学知识直接应用于学生今后的专业中，有效的促进了学生学习高等数学的积极性，提高了数学的应用意识。

　　3  在教学中选编案例的原则

　　高等数学课的中心内容并不是建立数学模型，我们只是通过数学建模强化学生的数学理论知识的应用意识，激发学生学习高等数学的积极性和主动性。所以在编选教学案例时应从简洁、直观、结合教学实际入手，达到既有助于理解教学内容，又可以通过对实际问题的抽象、归纳、思考，用所学的数学知识给予解决。切忌问题的繁难、冗长、超出所学知识的范围，给学生制造思维上的新难点。所选的模型，还应具有浓厚的趣味性，使学生在趣味盎然的学习气氛之中体会到数学思想方法在实际问题中的应用。

　　所选教学案例要尽可能结合医学实际问题，与时代的相符合，达到拓宽学生知识面的目的，不要脱离了生产生活的实际，要经得起实际的考验。达到让学生了解数学来源于生活实际，又应用于生活实际之中，从而激发学生学好数学的决心，提高他们应用数学解决实际问题的能力。

　　总之，高等数学教学的目的是提高学生的数学素质，为进一步学习其专业课打下良好的数学基础。教学中加入数学建模思想的渗透，可使学生的想象力、洞察力和创造力得到培养和提高。

　　文献

　　1  黄榕波，黄志超．医药高等数学教学改革趋势研究．大学数学，2004，20（4）：46~48．

　　2  陈亚丽．将数学建模思想浸透于高数教学中．数学，2005，（5）：30~31．

　　3  姜启源．数学建模．北京：高等教育出版社，2002，110~120．

　　4  王颖，安国斌，夏蔚．医用生物数学．长春：吉林技术出版社，2000，260~276．