香港HIV/AIDS新陈代谢GM(1,1)模型与预测分析
作者:何穗智 欧顺云 邓卓燊 刘素芳 曾百乐
【摘要】 目的: 研究香港HIV/AIDS的流行情况及其趋势。方法: 构造预测模型Y(t) = (x1-b/a)e-a t +b/a,对比新陈代谢GM(1,1)模型和一般GM(1,1)模型以及不同维数GM(1,1)模型,以研究香港HIV/AIDS人数的预测结果。结果: 新陈代谢GM(1,1)的误差小于对应的常规GM(1,1),短序列预测的误差通常小于长序列,香港HIV人数5维GM(1,1)模型精度检验4项指标均为一级。用5维新陈代谢GM(1,1)模型预测香港2010年HIV累计4920例,AIDS累计1158例。结论: 新陈代谢GM(1,1)模型是处理这类数据理想的模型,5维M(1,1)模型用于香港HIV/AIDS预测具有一定优势。
【关键词】 HIV; 新陈代谢GM(1,1)模型; 预测
卫生部、联合国艾滋病规划署、世界卫生组织最新评估结果显示:截至2005年底,中国现有艾滋病病毒感染者和病人约65万人(54~76万人)(数据来源:中国艾滋病网),中国艾滋病疫情仍呈上升趋势。
HIV/AIDS估计预测是掌握艾滋病流行现状及趋势、政策开发、项目设计和评价以及资源配置的基础。从1997年以来,为了解HIV/AIDS的流行程度和速度及其对当地社会的影响,联合国艾滋病规划署(UNAIDS)以及世界卫生组织(WHO)每半年对各国的HIV/AIDS流行情况做出评估,并根据估计结果,决定抗HIV/AIDS的国际资源如何分配到各个国家[1]。而组分法、反向法等用于HIV/AIDS的估计与预测有一定的局限性[2,3]。
本研究采用新陈代谢GM(1,1)模型,对香港2006~2010年HIV/AIDS人数进行预测,为艾滋病防治工作提供依据。
1 灰色预测模型
1.1 常规GM(1,1)模型
设原始数列x(0)={ x0(1),x0(2),…,x0(n) },对其进行一次累加生成,以弱化随机性和波动性,强化性。
x(1)(k)=∑ki=1x(0)(i) (k=1,2,3,…,n)
GM(1,1)模型是由一阶微分方程构成的动态模型:
x(0)(k)+az(1)(k)=b (k=1,2,3,…,n)(1)
其中z(1)(k)是x(1)(k)的紧邻均值生成序列,即z(1) (k+1) = 0.5[x(1) (k+1) + x(1) (k)],式(1)的白化方程为:
d x(x)d t+ax(1)=b
其中-a为发展系数,b为灰色作用量,由最小二乘法可得:
=(a,b)T=(BT B)-1·BT·Y
其中,Y=x(0)(2)
x(0)(3)
?
x(0)(n),B=-1/2(x(1)(1)+x(1)(2))1
-1/2(x(1)(2)+x(1)(3))1
??
-1/2(x(1)(n-1)+x(1)(n))1
求得方程的解,即时间响应函数为:
(1)(k+1)=(x(0)(1)-ba)e-ak+ba
(0)(k+1)=(1)(k+1)-(1)(k)
1.2 新陈代谢GM(1,1)模型
采用常规GM(1,1)模型预测,精度较高的仅仅是最近几个数据,离现实时刻越远,其预测意义越弱。为反映未来的随机扰动或驱动因素对灰色系统的影响,提高预测精度,可采用新陈代谢GM(1,1)模型[4]。即:在原始数据序列x(0) = {x(0)(1), x(0)(2),…, x(0)(n)}中,置入最新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),用x(0) = {x(0)(2), x(0)(3), …, x(0)(n), x(0)(n+1)}建立的模型即为新陈代谢GM(1,1)模型。为了提高预测精度,我们建立不同维数GM(1,1)模型,从中选取适当维数的新陈代谢GM(1,1)模型进行预测。
2 香港HIV/AIDS的趋势分析
2.1 预测模型的建立
选取香港1996年12月~2006年12月(每年第4季度)的HIV/AIDS累计数,原始数据见表1。
表1 香港1996年12月~2005年12月每年第4季度HIV/AIDS例数(略)
注:资料来源于香港卫生署卫生防护中心公共卫生服务处。
为筛选适当维数的预测模型,考虑到灰色建模数据不少于4维的要求,我们分别选取4~10维HIV/AIDS例数序列,建立常规GM(1,1)模型,对2004年和2005年第4季香港HIV/AIDS例数进行检验性预测,其结果见表2~4。
表2 常规GM(1,1)模型对HIV的检验性预测(略)
表3 新陈代谢GM(1,1)模型对HIV的检验性预测(略)
表4 取1995~2004年第4季数据对2005年第4季HIV/AIDS的检验性预测(略)
由表2、3可知,短序列预测的误差通常小于长序列,而新陈代谢GM(1,1)的误差又小于对应的常规GM(1,1),预测的时间越远,误差越大。
由表4可见,5维灰色预测模型的误差最小,其均误差比值为0.0402和0.0480,远小于0.35,发展系数-a =0.1251和0.1227,小于0.3。
综上所述,建立5维动态GM(1,1)模型和5维新陈代谢GM(1,1)模型群,对香港HIV/AIDS的变化趋势进行分析。
2.2 香港HIV/AIDS预测
2.2.1 常规5维GM(1,1)模型 2001年12月~2005年12月香港HIV原始数据序列为:
x(0) =(1755, 2015, 2244, 2512, 2825 )
x(0)的1?AGO序列为:
x(1) = ( x(1)(1), x(1)(2), x(1)(3), x(1)(4), x(1)(5) ) = (1755, 3770, 6014, 8526, 11351 )
设 d x(1)d t+ax(1)=b
由最小二乘法,得参数a, b的估计值为:
=-0.112968 =1696.820583
故GM(1,1)模型白化方程:
d x(1)d t-0.112968x(1)=1696.820583
其时间响应函数为
(1)(k+1)=(x(0)(1)-ba)e-ak+ba
=16775.395478e0.112968k-15020.395478(2)
由此得模板序列
=((1),(2),(3),(4),(5))=(1775, 2006, 2246, 2515, 2816)
经检验,灰色绝对关联度ε=0.997918>0.90,关联度为一级。
平均相对误差α=0.00244362<0.01,精度为一级。
均方差比值:C=S2S1=5.314373.501=0.014228<0.35,均方差比值为一级。
小误差概率p=P(|ε(k)-|<0.06745S1=251.9264)=1>0.95,小误差概率为一级。且-a=0.112968<0.3,故可用式(2)作中长期预测。
2.2.2 新陈代谢GM(1,1)模型群 利用5维GM(1,1)基础模型(2),预测香港2006年12月HIV累计例数为3152(即x(0)(6)= x(1)(5+1)- x(1)(5)=3152),置入这一新信息x(0)(6),去掉一个老信息x(0)(1)(2001年),得一次新陈代谢GM(1,1)建模序列:
x(0)(1)=(2015,2244, 2512, 2825, 3152)
由最小二乘法得 1=-0.113426, 1=1889.136744
5维GM(1,1)时间响应式为:
x(1)1(k+1)=(x(0)1(1)-b1a1)e-a1k+b1a1
=18670.22799e0.11326k-16655.22799 (3)
令k = 5,由式(3)与另一时间响应式(0)1(k+1)=(1)1(k+1)-(1)1(k),得2007年预测值3530,将其置入到一次新陈代谢GM(1,1)的建模序列,去掉一个老信息(2002年),进行二次新陈代谢预测,逐步循环,依次得到各个预测值。类似地,得到2006年12月~2010年12月 AIDS的预测值。见表5。
表5 5维新陈代谢GM(1,1)模型对未来5年HIV/AIDS的预测结果(略)
3 讨论
建立了5维新陈代谢GM(1,1)模型,从预测角度看,新陈代谢GM(1,1)模型是理想的模型。假定目前格局不变的情况下,对香港2006~2010 HIV/AIDS进行预测,平均相对误差均<0.01,为香港预防艾滋病工作提供了依据,对HIV/AIDS估计预测有借鉴作用。
截至1999年香港累计HIV每年以高于18%的速度上升,而1999年后每年以不超过15%的速度上升,预测2006~2010年以不超过12%的速度上升。AIDS有类似的情况出现。
为保证预测精度,充分发挥新陈代谢GM(1,1)模型优越性,可进行多次预测,每次预测的时间段尽量少一些。如果在精度检验时,发现误差较大,可以考虑定义适当的序列算子,例如二阶弱化算子D2,令D=14-k+1,对算子作用后的序列建立GM模型。
【】
1 The UNAIDS Reference Group on Estimates, Modelling and Projections. Improved methods and assumptions for estimation of the HIV/AIDS epidem ic and its impact :recommendations of the UN AIDS reference group on estimates, modeling and projections. AIDS, 2002, 16(9): W1~W14.
2 National Research Council. AIDS, sexual hehavior and intravenous drug use. Washington DC: National Academy Press, 1989,1~30.
3 Joshua AS, Christopher JLM. Modeling HIV/AIDS epidemics in Sub?saharan Africa using serop revalence data from antenatal clinics. Bulletin of the World Health Organization, 2001, 79(7): 596~607.
4 刘思峰,党耀国,方志耕. 灰色系统理论及其应用.第3版. 北京:科学出版社,2004,141~142.