人群中乙肝感染者分布的数学模拟

【关键词】  人群

　　医学中，通过揭示疾病各因素之间量的关系，达到对疾病从一般定性描述，到定量研究，是寻找及建立描述其主要数学模型的重要目的之一，就可达到模拟、预测、检验的目的。在假定群体各个年龄段对乙肝传染病具有相同传染率的条件下，本研究依据logistic函数的原理和对乙肝感染发生过程的分析，通过对疾病在人群中分布的实际情况的研究，提出不同的模型，试图对乙肝在人群中不同时间的感染数和不同年龄段感染数分布情况，提出一种模拟方法，达到对实际决策工作产生一定的作用。

　　1 原理与方法

　　logistic函数是观察值与某事件发生概率之间关系的统计模型，一般适用于通过 某种疾病的若干症状指标来预测该疾病的轻重程度。但是，经实践数据的分析，我们发现logistic函数在预测和模拟一些与时间有关的多发病的发病规律中，其有效性也是十分明显的。乙肝是常见的疾病之一，根据已经获得的实际数据，建立乙肝发生的数学模型，来模拟某地区发生及分布情况，减少对未来预测的不确定性，是模拟方法运用的一个重要的方面。经过研究，我们提出下述logistic函数的表达式来模拟和预测人群中乙肝发生数量是比较理想和方便的：y=L／(1+eβe-x/α)其中α，β，L 均为通过原始数据确定的常数，x为年次，y为发生数率。该公式在x极大时，e-x/α趋于零，则y接近常数L，也即L为某地区将来乙肝发生人数的高峰渐近值。最高峰为定值，可以解释为人群以某恒定的感染率转变为感染者后，随着时间的增加，感染人数虽有增加，但始终不超过最大值 的原因是乙肝的传染虽然可引起发病，但也可以引起免疫。通过原始数据估计α，β，L 的值，可采用如下方法：先y-1，即y-1=k+abx ,其中k=1/L，a=eβ/L，b=1/ae。这样，根据以往收集的每年乙肝发生人数的数据资料，确定k、a、b后，就得出某地区病例发生数的模拟公式，将要预测年次x的值代入公式中，就可得y-1值，其例数y即为该年乙肝发生人数的趋势值；L=k-1就是乙肝在该地区将来可能达到的最高发生人数近似值。对a、b 的确定可用下面的方法给出，将收集的资料按时间顺序分成年数相等三段，每段年数为n，算出每段中各数据例数之和的合计数y-1i(i=1，2,3)，然后根据公式：b=(1y3-1 y2)／(1y2-1 y1)1/na=1y2-1y1b-1 (bn-1)2k=1y1-(bn-1 b-1)a／n

　　在对每年的发生数进行估计之后，进一步我们要模拟乙肝发生按年龄分布的规律，可以对乙肝发生的实际过程进行分析。通常认为乙肝是由乙肝病毒感染所致，其发病机理应是从免疫淋巴细胞攻击受感染的肝细胞开始的，并且可以将肝细胞状态的变化和肝炎发生过程用数学语言描述为“正常细胞变为被感染细胞的变化率与病毒数目成正比，被感染细胞变为肝炎细胞的变化率与细胞免疫力成正比”。这样，乙肝的发生，从理论上可解释为：人群以感染率a转为感染特征呈阳性者后，可能还以率b转为感染特征呈阴性者。即可考虑下述表达式来模拟乙肝发生的过程：dy dt=dxdt-dzdt=a(1-x)-by其中x为某年龄段被感染的比率， y 为已被感染且感染特征呈阳性者比率，z为曾受感染但已失去感染特征的部分，t为时间。

　　由该表达式可解得模拟公式：y=a a-b(e-bt-e-at)其理论极大值时间为tm=lna-lnb   a-b 。

　　由于该模拟公式直接引入时间变量，则能较好地进行某一时期乙肝在不同年龄段发生情况的模拟。

　　2 应用

　　例1 某地区收集到的18年来乙肝患者数见表1，为方便求出模拟公式，将数据按要求分成3组，并同时求出各组数据例数之和。表1 某地区18年来乙肝患者数表（略）
 
　　所以乙肝发生数例的模拟公式为1  y=1.424×10-4+1.169×10-4×0.931x=(1.424+1.169×0.931x)×10-4渐近峰值 L=1／k=7022(人)

　　则乙肝发生的logistic模拟公式为：y=L 1+eβe-x/α=7022 1+0.821×(0.931)x如x=5时，y≈4461;x=9,y≈4906。模拟的近似程度还是较高的，要进行该地区未来乙肝发生数的预测，如第19年该地区乙肝发生数（x=18），根据上式，可得y≈5727(人)，以后各年份的发生数也可类似的并预测出。

　　例2 某地区经调查，得到某一年不同年龄段乙肝患者的数据分布，经估计参数a、b，可得到该地区按年龄分布患病率的模拟公式：y=180.6(e-0.044t-e-0.069t)

　　有关数据见表2，其中t为年龄（以年龄组中值计），按模拟推算的各理论值列于表最后一列，显然，该方法拟合度还是较好的。表2 某地区乙肝发生按年龄分布的患病数据（略）

　　据公式，该地区乙肝发病率最高年龄应为t=lna-lnb a-b=18 (岁)。

　　3 讨论

　　根据本研究给出的模拟方法，两者结合，我们就可以定量估计乙肝在一个地区的“感染力”，定量的预测该地区乙肝在某时间总发生数及各年龄段发生数的，以达到事先预防及评价防治效果的作用，并可作为决策的依据之一。当然，与时间有关的医学过程常常是很复杂的，而且是多种多样的，单纯的把乙肝的发生归结为某种随机过程的结果，仅是反应这个过程的一种形式，仅是从发生数量这一单纯信息去模拟乙肝发生的情况，并试图反映过程的内在关系，预测未来。因此，我们认为它不失为对乙肝发生过程，并可反复进行的方法之一。另外，需要说明的是，文中仅提出简单，且能大致模拟实际发生过程的模拟公式；也可引入较多的特征指标、考虑多因素来建立一种模拟公式，但有时系统过程或因素考虑的复杂，参数间的依赖关系也复杂，模型就会呈现某种程度的复杂性，就涉及到方法能否胜任的问题了。因此，设计简化的模拟公式，防止过多枝节问题，可使模拟目标较顺利的实现。

　　
　　
　　1 董时富，著．生物统计学． 北京：出版社，2002，242~254．

　　2 周怀悟，著．数理医药学． 上海：上海科技出版社，1983，230~258．

　　3 蔡金文，著．医用运筹学基础． 上海：上海科技出版社，1987，56~136．

　　4  黄秉宪，等，译．计量医学．上海：上海科技出版社，1984，130~140．