倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille公式

来源：岁月联盟作者：刘新纯时间：2010-07-11

【摘要】 　　应用Newton粘滞力定律和Bernoulli方程推导倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille公式。

【关键词】 Poiseuille定律　Newton粘滞力定律 Bernoulli方程

　　The Fluid Poiseuille’s for Rmula in Elliptic Cylindrical of Inclination

Key words the poiseuille’s formula; newton law; bernoulli’s equation

　　一般都只讲述水平圆管流体的Poiseuille定律，但实际应用中，不仅研究圆柱管且水平置放的情况，而且也会出现非圆柱管和非水平的情况。本研究推证倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille定律的公式。
　　
　　1 公式的推导

设流体在倾斜椭圆柱管中作稳定层流，如图1所示。

椭圆柱管截面方程为：x2a2+y2b2=1(1)

在广义柱坐标下 x=ar cosφy=br sinφ (0≤r≤b,0≤φ≤2π)(2)

易算得椭圆环 r-r+dr 的面积：

ds=a cosφ-ar sinφ b sinφbr cosφ dr 〖JF(Z〗2π0dφ〖JF)〗=2πbrdr(3)

由Bernoulli方程 12ρV2+p+ρhg=C(4)

　　可知，因为是稳定流动?V?t=0,第一项为零。第二项是流体的合压强，在此，其一是作用在椭圆环 r-r+dr上的合压力，为： F=（p1-p2)ds=2πab(p1-p2)rdr(5)

其二是流体的粘滞力，为：

df=-ηldsdV(r)dn(6)

式（6）中，ds为椭圆柱流管的侧面积元，在广义柱坐标下，其值为：

    ds=1+dydx2dx=a2 sin2φ+b2 cos2φ rdφ(7)
    式（6）中，dV(r)dn为速度梯度，在广义柱坐标下，其值为：
    dV(r)dnr=-|ΔV(r)|=?V(r)? x i+?V(r)? y jr
=aba2 sin2φ+b2 cos2φ ( cos2φa2+ sin2φb2) dV(r)drr(8)

将式（7）和式（8）代入式（6），算得粘滞力为：

df=-ηlab( cos2φa2+ sin2φb2) dV(r)drrdφ(9)

积分式（9），算得椭圆柱流层 r-r+dr的内侧面的粘滞力为： f内=-ηablr dV(r)drr〖JF(Z〗2π0( cos2φa2+ sin2φb2) dφ〖JF)〗 =-πηla2+b2ab r dV(r)drr(10)

在式（10）中作变量置换 r?r+dr,即得流层 r-r+dr 外侧面的粘滞力为： f外=-πηl a2+b2ab(r+dr) dV(r)drr+dr(11)

再将式（11）与式（10）相减，注意df(x)=f '(x)dx, rdV(r)drr是原函数，（r+dr)dV(r)drr+dr是自变量为r+dr时函数，于是得：f内-f外=πηla2+b2ab r （r+dr)dV(r)drr+dr-r dV(r)drr=πηla2+b2ab d r dV(r)dr(12)

式（4）中第三项是椭圆管倾斜，流体作用在椭圆环 r-r+dr 上的重力，为： F1=ρg(h1-h2)ds=2πabρg(h1-h2)rdr(13)

　　将式（5）、式（12）和式（13）代如式（4）中，移项整理，有：d r dV(r)dr=-2a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］ηl(a2+b2) rdr(14)积分式（14）一次，有：

r dV(r)dr=-a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］ηl(a2+b2) r2+C1(15)

　　代入速度梯度在轴线上为零的条件，即 dV(r)drr?0=0，知C1=0。将式（15）再积分一次，有：V（r)=-a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］2ηl(a2+b2) r2+C2(16)

代入流速V（r)在管壁处为零的边界条件，即［V（r）］r=1=0，有： C2=a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］2ηl(a2+b2)(17)

将式（17）代入式（16），最后得流速公式为： V（r)=a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］2ηl(a2+b2) (1-r2)(18)

将式（18）代入流量公式，有：Q=ab?(s) V(r)rdrdφ=a3b3［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］2ηl(a2+b2)〖JF(Z〗10(1-r2)rdr〖JF)〗〖JF(Z〗2π0dφ〖JF)〗 =πa3b3［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］4ηl(a2+b2)(19)

　　上式就是所求的倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille定律的公式。

　　2 讨论

　　2.1 在圆柱管倾斜的情况下，这时a=b，则式（19）为：

Q=π［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］8ηl a4(20)

式中a为圆柱管的半径。这与［1］的公式（6）一致。

　　2.2 当椭圆柱管水平放置时，即h1=h2，则式（19）为：

Q=π(p1-p2)4ηl（ a3b3a2+b2)(21)

这与文献［2］的公式（19）一致。

　　2.3 当倾斜椭圆柱管为圆柱管且水平放置时，即a=b,h1=h2，则式（19）为：

Q=π(p1-p2)8ηl a4(22)

这与文献［3］的公式（5-6）一致。

　　2.4 设椭圆柱管竖直放置时，这时 h2-h1=l，p1-p2≈0,则式（19）为：

Q=π a3b3ρg4η（ a2+b2))(23)

再设已知液体的密度为ρ0，粘滞系数为η0，滴定时间为t0，而被测液体的密度为ρ，粘滞系数为η，滴定时间为t，于是由式（23）分别得到已知液体的流量V0和被测液体的流量分别为：
V0=πg a3b34（ a2+b2) ρ0t0η0, V=πg a3b34（ a2+b2) ρtη(24)

式（24）中的两式相除有：

η=ρtρ0t0η0(25)

这正是用奥氏或乌氏粘度计测定液体粘滞系数的公式。这告知，被测粘滞系数的实验中，用什么形状的截面管都不影响实际结果。

【文献】
　　1 秦任甲.泊肃叶公式在非水平管中的形式及其在粘滞系数测定中的应用.大学物理，1983，（12）：1～3.

　　2 王礼祥.椭圆柱管流体的泊肃叶公式的两种简明推导.大学物理，1997，（2）：14～17.

　　3 刘普和，等主编.医学物.第1版.四川：人民卫生出版社，1980，98～100.