素质教育与高中数学课堂设计

摘 要 本文从素质观出发，从构建素质化的教学目标和构建素质化的课堂教学过程两方面谈高中数学课堂教学设计。
     　　　　　　　需要指出的是，体现素质教育的全面性，并不是要求每节课都面面俱到，也不是在教育目标上搞平均化，更不是要求每个学生平均，而是要根据不同的教学内容和不同的对象，充分利用知识的文化价值和育人功能，进行课堂目标的设计，提高教学目标的针对性和实效性，使学生实现个性发展和全面发展的统一.
    二、构建素质化的教学过程，培养学生的创新思维
    素质教育的核心就是创新教育，这已成全社会的共识.然而如何培养学生的创新意
   识、创新精神和创新能力，却是一项复杂的工程，也是当前学校教育的根本任务.更是课堂教学中需要认真对待和研究的.
   1. 引导学生逆向思维，培养思维的发散性
   在研究问题的过程中，引导学生有意去做与习惯思维方法完全相反的探索，这种思维方法无疑地是发散思维的一种．事实上，关于“逆”的思维方法在中学数学教材中随处可见．如乘法和除法、乘方和开方、定理和逆定理、命题和逆命题、微分和积分、进与退、动与静、……．而培养学生的逆向思维能力，主要抓：
   (1)公式、法则的逆用
    在不少数学习题的解决过程中，都需要将公式变形或将公式、法则逆过来用，而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功．因此，在教学中应注意这方面的训练，以培养学生逆向应用公式、法则的基本功．
    例1 设n∈N，且n≥3，试证
    分析 初看此题，觉得无从下手，但仔细分析要证的结论，发现不等式左边的指数 ，这里就是等差数列求和公式的逆用．再注意到底数2，不难想到组合数公式 ，逆用该公式，问题得证．
    证明 ≥3, ∴
    又 =
    >
    ∴
    (2)常规解题方法的逆用
    在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索．其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性；用一种命题无法解决就考虑转换成另一种等价的命题；…….总之，正确而又巧妙地运用逆向转换的思维方法解数学题，常常能使人茅塞顿开，突破思维的定势，使思维进入新的境界，这是逆向思维的主要形式.
    例2 为哪些实数值时, 的任何实数值都不满足不等式
    
    分析 这道题若从正面考虑则较困难，若改为： 为哪些实数值时， 的任何实数值都满足不等式 ≥0 ？问题即可迎刃而解.
    解 当 ≠-1时,函数 的图象是一条抛物线.
    ∵ ≤0
    ∴这条抛物线的顶点在x轴上,且开口向上,故有
    
    由(1)得
    由(2)得
    综合得
    ∴当 时, 的任何值都不满足这一不等式.
    2．改封闭型题目为开放型或半开放型题目，多给学生提供猜想的机会
    对于教材中直接采用“已知、求证、证明”的方式机械地传授知识的封闭题(这类封闭式的题目比比皆是)，教师也应有意识地把它改造成开放题，然后引导学生运用归纳的方法得出一般的结论，然后再证明.
    例3 已知 -1且 且 ≥2,求证: > (代数下册第119页例5).
    教师在讲解这道题时,可将它改为: 已知 >-1且 且 ≥2,试比较 和 的大小.
    令 时, ；
    令 时， ；
    令 时， .
    从而归纳出 > . 最后引导学生用数学归纳法证明.
    3．抓好类比能力的培养，为猜想提供依据
    由于获得猜想的主要途径是通过归纳和类比.因此,在教学设计中,抓好归纳和类比能力的培养就显得十分重要.
    “类比是发现的泉源”，它是获得数学猜想的一种基本方法.
    例4 已知 、 、 >0，且 ，求证： ≥9.
    这是一道常见的题目,用柯西不等式很容易解决.若根据“ ”与“cos2 +cos2 +cos2 =1”相类比，可得到如下的创造性解法.
    证明 设 cos2 , cos2 , cos2 (0o< , , <90o).由 ,得cos2 +cos2 +cos2 =1.
    由上式知,可构造一对角线长为 ,且对角线与棱 、 、 的夹角分别为 、 、 的长方体 .
   ∴
    =
    
    ≥ .
    必须指出的是，由归纳和类比猜测得到的结论是不可靠的，只有经过逻辑推理的方法证明才能肯定其真假性.
    实践证明，在数学教学中渗透猜想可以开阔学生的思维空间，指明解题方向，通过使一些原来“山穷水尽”的题目转为“柳暗花明”，提高了解题能力，提高了创新思维的能力.
    4．改封闭型题目为探索性题目，培养学生的探索能力
    例5 用数学归纳法证明
   (1) ； (2) .
   可将它改变为探索性问题:
   是否存在实数 ,使下列式子成立，如存在，求出 的值；如不存在，请说明理由.
   (1) ； (2) .
   课本中,一般用数学归纳法证明的恒等式问题，都可以改编为探索性问题.
   例6 用数学归纳法证明 (代数下册第116页的例1).
   将它改为只探索一个常数的题目：
   是否存在实数 ，使下列等式成立，如存在，求出 的值；如不存在，说明理由：
   (1) ；
   (2) ；
   (3) ；
   (4) .
    也可改为探索二个常数的题目：
    是否存在实数 、 ，使下列等式成立，如存在，求出 、 的值；如不存在，说
   明理由：
    (5) .
    从能力立意的角度来看，原题只是培养了应用数学归纳法解决问题的能力，而改变
   后的题目，还培养了学生的探索能力.
    5．确定答案改题目，培养学生的创新思维能力
    为使学生的创造思维能力得到培养和强化,教师在编造题目时,应注意将常规题目“倒过来”，以培养学生的逆向思维习惯.
   例7 直线 被圆 截得的弦长是( )
    2
    容易求得此题的答案为( )
    在讲解此题后将它改为：
    (1)直线 被圆 截得的弦长是 ，则
    (不必细算知，通过直观观察知有一个 =6).
    (2)直线 被圆 截得的弦长是 ，则
    (不必细算知，有一个 =4是肯定的).
    (3)直线 被圆 截得的弦长是 ，则
    ， (不必细算，通过直观观察知有一个 =4， ).
    这样编出来的题目(现编现讲)，学生的解题思路非常清楚，记得牢.另外还有一个好处：学生也会学着编题—培养了学生的创新思维能力.当然,这样编出来的题目，答案不一定是唯一的，还要求解出来.
    6.重视运用其它学科知识解决数学题
    运用数学知识解决其它学科的问题，可以说是顺理成章的.然而运用其它学科的知识来解决数学问题,一般说来,是不够重视的.事实上,有很多数学问题用其它学科知识来解决,显得相当简捷.
    例8 O为 内任一点,连结 、 、 ，并延长分别交对边于 、 、 .求证:
    (1) ；
    (2) ；
    (3) ≥6；
    (4) ≥27.
    证明 在 、 、 三点放置的质量分别为 、 、 ，则点 、 、 、O的质量分别为 、 、 、 .
    由物理中的杠杆原理得
    (1)原式= = ；
    (2)原式= ；
    (3)原式= ≥2+2+2=6；
   (4)原式= ≥ =27.
   7．重视多学科的沟通
    随着新教材的实施和教学改革的不断深入，作为工具性学科的数学将和其它学科的联系更加紧密，所以数学知识的多角度应用将是我们需要研究的课题，在高中物理、生物、化学等的习题中，有些也可以通过构建数学模型来解决问题，从而可培养学生的跨学科的综合能力.限于篇幅，这里仅举与生物和地理相关的题目各一例.
    例9 一对表现型正常的夫妇，生了一个白化色盲的儿子，则他们再生一个孩子患白化色盲的几率为多少？
    分析 据双亲及其所生儿子的表现型推知：母亲基因型是 ，父亲基因型是 ，由此确定两种遗传病在孩子中出现的概率为 ，色盲概率为 ，由加法原理知：白化色盲在孩子中的发生率为 .
    例10 我国土地面积约为 ,大部分位于地球的北温带,试问我国领土是北温带面积的百分之几？
    分析 解此题的关键是理解地中北温带的概念。由地理知识可知北温带是指北纬 至北纬 ，因此，只要北纬 至北纬 的球带面积即可.解略.
   在课堂教学中,除了以上谈的有系统地进行培养外,还应经常鼓励学生突破旧有相关知识的局限,不因袭前人,敢于提出“出人意料的问题”、“出人意料的解决办法”；鼓励学生“别出心裁—标新立异—异想天开”.这样,培养学生的创新思维能力的目的是能够达到的.